Dado um array arr[0..N-1]. As seguintes operações precisam ser executadas.
- atualizar (l r val) : Adicione 'val' a todos os elementos da matriz de [l r].
- getRangeSum(l r) : Encontre a soma de todos os elementos na matriz de [l r].
Inicialmente, todos os elementos do array são 0. As consultas podem estar em qualquer ordem, ou seja, pode haver muitas atualizações antes da soma do intervalo.
Exemplo:
Entrada: N = 5 // {0 0 0 0 0}
Consultas: atualização: l = 0 r = 4 val = 2
atualização: l = 3 r = 4 val = 3
getRangeSum: l = 2 r = 4Saída: A soma dos elementos do intervalo [2 4] é 12
Explicação: A matriz após a primeira atualização torna-se {2 2 2 2 2}
A matriz após a segunda atualização torna-se {2 2 2 5 5}
Abordagem ingênua: Para resolver o problema siga a ideia abaixo:
No postagem anterior discutimos soluções de atualização de intervalo e consulta de pontos usando BIT.
rangeUpdate(l r val): Adicionamos 'val' ao elemento no índice 'l'. Subtraímos 'val' do elemento no índice 'r+1'.
getElement(index) [ou getSum()]: Retornamos a soma dos elementos de 0 ao índice que pode ser obtido rapidamente usando BIT.
Podemos calcular rangeSum() usando consultas getSum().
rangeSum(l r) = getSum(r) - getSum(l-1)entrada javaUma solução simples é usar as soluções discutidas no postagem anterior . A consulta de atualização de intervalo é a mesma. A consulta de soma de intervalo pode ser obtida fazendo uma consulta get para todos os elementos do intervalo.
Abordagem eficiente: Para resolver o problema siga a ideia abaixo:
Obtemos a soma do intervalo usando somas de prefixos. Como garantir que a atualização seja feita de forma que a soma do prefixo possa ser feita rapidamente? Considere uma situação em que a soma do prefixo [0 k] (onde 0<= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.
- Caso 1 : 0< k < l
- A consulta de atualização não afetará a consulta de soma.
- Caso 2 : eu<= k <= r
- Considere um exemplo: Adicione 2 ao intervalo [2 4] e a matriz resultante seria: 0 0 2 2 2
Se k = 3 A soma de [0 k] = 4Como obter esse resultado?
Basta adicionar o val de loíndice para koíndice. A soma é incrementada em 'val*(k) - val*(l-1)' após a consulta de atualização.
- Caso 3 : k > r
- Para este caso, precisamos adicionar 'val' de loíndice para roíndice. A soma é incrementada em 'val*r – val*(l-1)' devido a uma consulta de atualização.
Observações:
Caso 1: é simples, pois a soma permaneceria a mesma de antes da atualização.
Caso 2: A soma foi incrementada em val*k - val*(l-1). Podemos encontrar 'val', é semelhante a encontrar o ioelemento em atualização de intervalo e artigo de consulta de ponto . Portanto, mantemos um BIT para atualização de intervalo e consultas de pontos. Este BIT será útil para encontrar o valor em koíndice. Agora val * k é calculado como lidar com o termo extra val*(l-1)?
Para lidar com esse termo extra mantemos outro BIT (BIT2). Atualize val * (l-1) em loindex então, quando a consulta getSum for executada no BIT2, o resultado será val*(l-1).
Caso 3: A soma no caso 3 foi incrementada por 'val*r - val *(l-1)' o valor deste termo pode ser obtido usando BIT2. Em vez de adicionar, subtraímos 'val*(l-1) - val*r', pois podemos obter esse valor do BIT2 adicionando val*(l-1) como fizemos no caso 2 e subtraindo val*r em cada operação de atualização.
Consulta de atualização
Atualização(BITree1 l val)
Atualizar(BITree1 r+1 -val)
AtualizarBIT2(BITree2 l val*(l-1))
AtualizarBIT2(BITree2 r+1 -val*r)Soma do intervalo
np ondegetSum(BITTree1k) *k) - getSum(BITTree2k)
Siga as etapas abaixo para resolver o problema:
- Crie as duas árvores de índice binário usando a função fornecida constructBITree()
- Para encontrar a soma em um determinado intervalo, chame a função rangeSum() com parâmetros como o intervalo fornecido e árvores binárias indexadas
- Chame uma função sum que retornará uma soma no intervalo [0 X]
- Retornar soma(R) - soma(L-1)
- Dentro desta função chame a função getSum() que retornará a soma do array de [0 X]
- Retornar getSum(Árvore1 x) * x - getSum(árvore2 x)
- Dentro da função getSum() crie uma soma inteira igual a zero e aumente o índice em 1
- Enquanto o índice for maior que zero, aumente a soma por Árvore[índice]
- Diminua o índice em (index & (-index)) para mover o índice para o nó pai na árvore
- Soma de retorno
- Imprima a soma no intervalo fornecido
Abaixo está a implementação da abordagem acima:
C++// C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include
// Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.*; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum(int BITree[] int index) { int sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT(int BITree[] int n int index int val) { // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum(int x int BITTree1[] int BITTree2[]) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } static void updateRange(int BITTree1[] int BITTree2[] int n int val int l int r) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } static int rangeSum(int l int r int BITTree1[] int BITTree2[]) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } static int[] constructBITree(int n) { // Create and initialize BITree[] as 0 int[] BITree = new int[n + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Program to test above function public static void main(String[] args) { int n = 5; // Contwo BIT int[] BITTree1; int[] BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2; r = 4; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1; r = 4; System.out.print('Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is '); System.out.print(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2) + 'n'); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
# Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum(BITree: list index: int) -> int: summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0: # Add current element of BITree to sum summ += BITree[index] # Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit(BITTree: list n: int index: int val: int) -> None: # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n: # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree[index] += val # Update index to that of parent in update View index += index & (-index) # Returns the sum of array from [0 x] def summation(x: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x) def updateRange(BITTree1: list BITTree2: list n: int val: int l: int r: int) -> None: # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit(BITTree1 n l val) updateBit(BITTree1 n r + 1 -val) # Update BIT2 updateBit(BITTree2 n l val * (l - 1)) updateBit(BITTree2 n r + 1 -val * r) def rangeSum(l: int r: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation(r BITTree1 BITTree2) - summation( l - 1 BITTree1 BITTree2) # Driver Code if __name__ == '__main__': n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [0] * (n + 1) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [0] * (n + 1) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print('Sum of elements from [%d%d] is %d' % (l r rangeSum(l r BITTree1 BITTree2))) # This code is contributed by # sanjeev2552
// C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum(int[] BITree int index) { int sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT(int[] BITree int n int index int val) { // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of // parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum(int x int[] BITTree1 int[] BITTree2) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } static void updateRange(int[] BITTree1 int[] BITTree2 int n int val int l int r) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } static int rangeSum(int l int r int[] BITTree1 int[] BITTree2) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } static int[] constructBITree(int n) { // Create and initialize BITree[] as 0 int[] BITree = new int[n + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Code public static void Main(String[] args) { int n = 5; // Contwo BIT int[] BITTree1; int[] BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2; r = 4; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1; r = 4; Console.Write('Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is '); Console.Write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2) + 'n'); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
<script> // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum(BITreeindex) { let sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT(BITreenindexval) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum(xBITTree1BITTree2) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } function updateRange(BITTree1BITTree2nvallr) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } function rangeSum(lrBITTree1BITTree2) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } function constructBITree(n) { // Create and initialize BITree[] as 0 let BITree = new Array(n + 1); for (let i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Program to test above function let n = 5; // Contwo BIT let BITTree1; let BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4; document.write('Sum of elements from [' + l + '' + r+ '] is '); document.write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)+ '
'); // This code is contributed by rag2127 </script>
Saída
Sum of elements from [14] is 50
Complexidade de tempo : O(q * log(N)) onde q é o número de consultas.
Espaço Auxiliar: SOBRE)