Suponha que existam duas fórmulas, X e Y. Essas fórmulas serão conhecidas como equivalência se X ↔ Y for uma tautologia. Se duas fórmulas X ↔ Y são uma tautologia, então também podemos escrevê-la como X ⇔ Y, e podemos ler esta relação como X é equivalência a Y.

Nota: Existem alguns pontos que devemos ter em mente durante a equivalência linear da fórmula, que são descritos a seguir:

• ⇔ é usado para indicar apenas um símbolo, mas não é conectivo.
• O valor verdade de X e Y será sempre igual se X ↔ Y for uma tautologia.
• A relação de equivalência contém duas propriedades, ou seja, simétrica e transitiva.

Método 1: Método da tabela verdade:

Neste método, construiremos as tabelas verdade de qualquer fórmula de duas afirmações e depois verificaremos se essas afirmações são equivalentes.

Exemplo 1: Neste exemplo, temos que provar X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Solução: A tabela verdade de X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) é descrita a seguir:

Como podemos ver que X ∨ Y e ¬(¬X ∧ ¬Y) é uma tautologia. Portanto, X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

Exemplo 2: Neste exemplo, temos que provar (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

Solução: A tabela verdade de (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) é descrita a seguir:

Como podemos ver que X → Y e (¬X ∨ Y) são uma tautologia. Portanto (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

Fórmula de equivalência:

Existem várias leis que são usadas para provar a fórmula de equivalência, que é descrita a seguir:

Lei idempotente: Se houver uma fórmula de instrução, ela terá as seguintes propriedades:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

Direito associativo: Se houver três fórmulas de instrução, ela terá as seguintes propriedades:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

Lei comutativa: Se houver duas fórmulas de instrução, ela terá as seguintes propriedades:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

Lei distributiva: Se houver três fórmulas de instrução, ela terá as seguintes propriedades:

ddl versus dml

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

Lei de identidade: Se houver uma fórmula de instrução, ela terá as seguintes propriedades:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

Lei complementar: Se houver uma fórmula de instrução, ela terá as seguintes propriedades:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

Lei de Absorção: Se houver duas fórmulas de instrução, ela terá as seguintes propriedades:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

Da Lei de Morgan: Se houver duas fórmulas de instrução, ela terá as seguintes propriedades:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

Método 2: Processo de Substituição

Neste método, assumiremos uma fórmula A: X → (Y → Z). A fórmula Y → Z pode ser conhecida como parte da fórmula. Se substituirmos esta parte da fórmula, ou seja, Y → Z, pela ajuda da fórmula de equivalência ¬Y ∨ Z em A, obteremos outra fórmula, ou seja, B : X → (¬Y ∨ Z). É um processo fácil verificar se as fórmulas A e B fornecidas são equivalentes entre si ou não. Com a ajuda do processo de substituição, podemos obter B de A.

Exemplo 1: Neste exemplo, temos que provar que {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

Solução: Aqui, pegaremos a parte esquerda e tentaremos pegar a parte direita.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Agora usaremos a lei associativa assim:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

Agora usaremos a lei de De Morgan assim:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Daí provado

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

Exemplo 2: Neste exemplo, temos que provar que {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

Solução: Aqui, pegaremos a parte esquerda e tentaremos pegar a parte direita.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

Daí provado

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

Exemplo 3: Neste exemplo, temos que provar que X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

Solução: Aqui, pegaremos a parte esquerda e tentaremos pegar a parte direita.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

Daí provado

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

Exemplo 4: Neste exemplo, temos que provar que (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

Solução: Aqui, pegaremos a parte esquerda e tentaremos pegar a parte direita.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

Agora usaremos as leis Associativas e Distributivas assim:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Agora usaremos a lei de De Morgan assim:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

Agora usaremos a lei distributiva assim:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

Daí provado

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

Exemplo 5: Neste exemplo, temos que mostrar que ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) é uma tautologia.

Solução: Aqui vamos pegar pequenas peças e resolvê-las.

Primeiro, usaremos a lei de De Morgan e obteremos o seguinte:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

Portanto,

c++ converte int em string

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

Também

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Por isso

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

Por isso

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

Portanto, podemos dizer que a fórmula dada é uma tautologia.

Exemplo 6: Neste exemplo, temos que mostrar que (X ∧ Y) → (X ∨ Y) é uma tautologia.

Solução: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

Agora usaremos a lei de De Morgan assim:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

Agora usaremos a lei associativa e a lei comutativa assim:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

Agora usaremos a lei da negação assim:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

Portanto, podemos dizer que a fórmula dada é uma tautologia.

Exemplo 7: Neste exemplo, temos que escrever a negação de algumas afirmações, que são descritas a seguir:

1. Casar concluirá seus estudos ou aceitará a carta de adesão da Empresa XYZ.
2. Harry irá dar um passeio ou correr amanhã.
3. Se eu tirar boas notas, meu primo ficará com ciúmes.

Solução: Primeiro, resolveremos a primeira afirmação assim:

1. Suponha X: Casar completará seus estudos.

Y: Aceite a carta de adesão da Empresa XYZ.

Podemos usar a seguinte forma simbólica para expressar esta afirmação:

 X ∨ Y 

A negação de X ∨ Y é descrita a seguir:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Em conclusão, a negação da afirmação dada será:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. Suponha X: Harry vai dar um passeio

Y: Harry irá correr amanhã

Podemos usar a seguinte forma simbólica para expressar esta afirmação:

 X ∨ Y 

A negação de X ∨ Y é descrita a seguir:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

Em conclusão, a negação da afirmação dada será:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. Suponha X: Se eu tirar boas notas.

Y: Meu primo vai ficar com ciúmes.

Podemos usar a seguinte forma simbólica para expressar esta afirmação:

 X → Y 

A negação de X → Y é descrita a seguir:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

Em conclusão, a negação da afirmação dada será:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

Exemplo 8: Neste exemplo, temos que escrever a negação de algumas afirmações com a ajuda da lei de De Morgan. Essas declarações são descritas a seguir:

1. Preciso de um conjunto de diamantes que vale um anel de ouro.
2. Você consegue um bom emprego ou não consegue um bom parceiro.
3. Dou muito trabalho e não aguento.
4. Meu cachorro viaja ou faz bagunça na casa.

Solução: A negação de todas as afirmações com a ajuda da lei de De Morgan é descrita uma por uma assim:

1. Não preciso de um conjunto de diamantes ou não valho um anel de ouro.
2. Você não conseguirá um bom emprego e conseguirá um bom parceiro.
3. Eu não dou muito trabalho ou posso lidar com isso.
4. Meu cachorro não viaja e não faz bagunça na casa.

Exemplo 9: Neste exemplo, temos algumas afirmações e temos que escrever a negação dessas afirmações. As declarações são descritas a seguir:

1. Se estiver chovendo, o plano de ir à praia é cancelado.
2. Se eu estudar muito, terei boas notas no exame.
3. Se eu for a uma festa tarde da noite, serei punido por meu pai.
4. Se você não quiser falar comigo, terá que bloquear meu número.

Solução: A negação de todas as afirmações é descrita uma por uma assim:

1. Se o plano de ir à praia for cancelado, então está chovendo.
2. Se eu tirar boas notas no exame, estudo muito.
3. Se eu for punido por meu pai, então irei a uma festa tarde da noite.
4. Se você tiver que bloquear meu número, não vai querer falar comigo.

Exemplo 10: Neste exemplo, temos que verificar se (X → Y) → Z e X → (Y → Z) são logicamente equivalentes ou não. Temos de justificar a nossa resposta com a ajuda de tabelas verdade e com a ajuda de regras de lógica para simplificar ambas as expressões.

Solução: Primeiro, usaremos o método 1 para verificar se (X → Y) → Z e X → (Y → Z) são logicamente equivalentes, que é descrito a seguir:

programa c para matriz bidimensional

Método 1: Aqui, assumiremos o seguinte:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

E

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

Método 2: Agora, usaremos o segundo método. Neste método, usaremos a tabela verdade.

Nesta tabela verdade, podemos ver que as colunas de (X → Y) → Z e X → (Y → Z) não contêm valores idênticos.