Pré-requisitos: PEDAÇO Dados 'n' segmentos de linha, cada um deles é horizontal ou vertical, encontre o número máximo de triângulos (incluindo triângulos com área zero) que podem ser formados unindo os pontos de intersecção dos segmentos de linha. Não há dois segmentos de linha horizontais sobrepostos nem dois segmentos de linha verticais. Uma linha é representada usando dois pontos (quatro inteiros, os dois primeiros sendo as coordenadas xey, respectivamente, para o primeiro ponto e os outros dois sendo as coordenadas xey para o segundo ponto) Exemplos:
| ---|-------|-- | | ----- | --|--|- | | | | For the above line segments there are four points of intersection between vertical and horizontal lines every three out of which form a triangle so there can be 4C3 triangles.
A ideia é baseada Algoritmo de linha de varredura . Construindo uma solução em etapas:
- Armazene ambos os pontos de todos os segmentos de linha com o evento correspondente (descrito abaixo) em um vetor e classifique todos os pontos em ordem não decrescente de suas coordenadas x.
- Vamos agora imaginar uma linha vertical que percorremos todos esses pontos e descrever 3 eventos com base em qual ponto estamos atualmente:
- um linha vertical
- Chamamos a região 'ativo' ou as linhas horizontais 'ativo' que tiveram o primeiro evento, mas não o segundo. Teremos um BIT (árvore binária indexada) para armazenar as coordenadas 'y' de todas as linhas ativas.
- Quando uma linha fica inativa, removemos seu 'y' do BIT.
- Quando ocorre um evento do terceiro tipo, isto é, quando estamos em uma linha vertical, consultamos a árvore no intervalo de suas coordenadas 'y' e adicionamos o resultado ao número de pontos de interseção até o momento.
- Finalmente teremos o número de pontos de intersecção, digamos eu então o número de triângulos (incluindo área zero) será euC3 .
em - ponto mais à esquerda de um segmento de linha horizontalfora - ponto mais à direita de um segmento de linha horizontalObservação: Precisamos classificar cuidadosamente os pontos, olhar para o cmp() função na implementação para esclarecimento.
CPP// A C++ implementation of the above idea #include
#define maxy 1000005 #define maxn 10005 using namespace std; // structure to store point struct point { int x y; point(int a int b) { x = a y = b; } }; // Note: Global arrays are initially zero // array to store BIT and vector to store // the points and their corresponding event number // in the second field of the pair int bit[maxy]; vector<pair<point int> > events; // compare function to sort in order of non-decreasing // x coordinate and if x coordinates are same then // order on the basis of events on the points bool cmp(pair<point int> &a pair<point int> &b) { if ( a.first.x != b.first.x ) return a.first.x < b.first.x; //if the x coordinates are same else { // both points are of the same vertical line if (a.second == 3 && b.second == 3) { return true; } // if an 'in' event occurs before 'vertical' // line event for the same x coordinate else if (a.second == 1 && b.second == 3) { return true; } // if a 'vertical' line comes before an 'in' // event for the same x coordinate swap them else if (a.second == 3 && b.second == 1) { return false; } // if an 'out' event occurs before a 'vertical' // line event for the same x coordinate swap. else if (a.second == 2 && b.second == 3) { return false; } //in all other situations return true; } } // update(y 1) inserts a horizontal line at y coordinate // in an active region while update(y -1) removes it void update(int idx int val) { while (idx < maxn) { bit[idx] += val; idx += idx & (-idx); } } // returns the number of lines in active region whose y // coordinate is between 1 and idx int query(int idx) { int res = 0; while (idx > 0) { res += bit[idx]; idx -= idx & (-idx); } return res; } // inserts a line segment void insertLine(point a point b) { // if it is a horizontal line if (a.y == b.y) { int beg = min(a.x b.x); int end = max(a.x b.x); // the second field in the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(beg a.y) 1)); events.push_back(make_pair(point(end a.y) 2)); } //if it is a vertical line else { int up = max(b.y a.y); int low = min(b.y a.y); //the second field of the pair is the event number events.push_back(make_pair(point(a.x up) 3)); events.push_back(make_pair(point(a.x low) 3)); } } // returns the number of intersection points between all // the lines vertical and horizontal to be run after the // points have been sorted using the cmp() function int findIntersectionPoints() { int intersection_pts = 0; for (int i = 0 ; i < events.size() ; i++) { //if the current point is on an 'in' event if (events[i].second == 1) { //insert the 'y' coordinate in the active region update(events[i].first.y 1); } // if current point is on an 'out' event else if (events[i].second == 2) { // remove the 'y' coordinate from the active region update(events[i].first.y -1); } // if the current point is on a 'vertical' line else { // find the range to be queried int low = events[i++].first.y; int up = events[i].first.y; intersection_pts += query(up) - query(low); } } return intersection_pts; } // returns (intersection_pts)C3 int findNumberOfTriangles() { int pts = findIntersectionPoints(); if ( pts >= 3 ) return ( pts * (pts - 1) * (pts - 2) ) / 6; else return 0; } // driver code int main() { insertLine(point(2 1) point(2 9)); insertLine(point(1 7) point(6 7)); insertLine(point(5 2) point(5 8)); insertLine(point(3 4) point(6 4)); insertLine(point(4 3) point(4 5)); insertLine(point(7 6) point(9 6)); insertLine(point(8 2) point(8 5)); // sort the points based on x coordinate // and event they are on sort(events.begin() events.end() cmp); cout << "Number of triangles are: " << findNumberOfTriangles() << "n"; return 0; } Saída:
Number of triangles are: 4
Time Complexity: O( n * log(n) + n * log(maximum_y) )
Espaço Auxiliar: O(maxy) onde maxy = 1000005