Seja L um conjunto não vazio fechado sob duas operações binárias chamadas meet and join, denotadas por ∧ e ∨. Então L é chamado de rede se os seguintes axiomas forem válidos onde a, b, c são elementos em L:

1) Lei Comutativa: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a

2) Direito Associativo: -
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

3) Lei de Absorção: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a

Dualidade:

O dual de qualquer afirmação em uma rede (L,∧ ,∨ ) é definido como uma afirmação obtida pela troca de ∧ e ∨.

Por exemplo , o dual de a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a é a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a

Redes limitadas:

Uma rede L é chamada de rede limitada se tiver o maior elemento 1 e o menor elemento 0.

Exemplo:

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1. O conjunto de potências P(S) do conjunto S sob as operações de interseção e união é um reticulado limitado, pois ∅ é o menor elemento de P(S) e o conjunto S é o maior elemento de P(S).
2. O conjunto de +ve inteiro I₊sob a ordem usual de ≦ não é uma rede limitada, pois tem o menor elemento 1, mas o maior elemento não existe.

Propriedades de redes limitadas:

Se L é uma rede limitada, então para qualquer elemento a ∈ L, temos as seguintes identidades:

1. uma ∨ 1 = 1
2. uma ∧1= uma
3. uma ∨0=uma
4. uma ∧0=0

Teorema: Prove que toda rede finita L = {a₁,a₂,a₃....a_n} é limitado.

Prova: Demos a rede finita:

eu = {uma₁,a₂,a₃....a_n}

Assim, o maior elemento das redes L é um₁∨ um₂∨ um_{3∨....∨an.}

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Além disso, o menor elemento da rede L é um₁∧ uma₂∧a₃∧....∧a_n.

Desde então, os maiores e menores elementos existem para cada rede finita. Portanto, L é limitado.

Sub-redes:

Considere um subconjunto não vazio L₁de uma rede L. Então L₁é chamado de sub-rede de L se L₁em si é uma rede, ou seja, a operação de L, ou seja, a ∨ b ∈ L₁e a ∧ b ∈ L₁sempre que um ∈ L₁eb ∈ eu₁.

Exemplo: Considere a rede de todos os + cinco inteiros I₊sob a operação de divisibilidade. A treliça D_nde todos os divisores de n > 1 é uma sub-rede de I₊.

Determine todas as sub-redes de D₃₀que contêm pelo menos quatro elementos, D₃₀={1,2,3,5,6,10,15,30}.

Solução: As sub-redes de D₃₀que contêm pelo menos quatro elementos são os seguintes:

1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}

Redes Isomórficas:

Duas treliças L₁e eu₂são chamadas de redes isomórficas se houver uma bijeção de L₁para mim₂ou seja, f: L₁⟶ eu₂, tal que f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) e f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)

Exemplo: Determine se as redes mostradas na fig são isomórficas.

Solução: As redes mostradas na fig são isomórficas. Considere o mapeamento f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Por exemplo f (b ∧ c) = f (a) = 1. Além disso, nós tem f (b) ∧ f (c) = 2 ∧ 3 = 1

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Rede Distributiva:

Uma rede L é chamada de rede distributiva se, para quaisquer elementos a, b e c de L, ela satisfaz as seguintes propriedades distributivas:

1. a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
2. a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Se a rede L não satisfaz as propriedades acima, ela é chamada de rede não distributiva.

Exemplo:

1. O conjunto de potências P (S) do conjunto S sob a operação de interseção e união é uma função distributiva. Desde,
   uma ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
   e, também a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) para quaisquer conjuntos a, b e c de P(S).
2. A rede mostrada na fig. II é distributiva. Visto que satisfaz as propriedades distributivas para todos os triplos ordenados que são obtidos de 1, 2, 3 e 4.

Complementos e reticulados complementados:

Seja L uma rede limitada com limite inferior o e limite superior I. Seja a um elemento se L. Um elemento x em L é chamado de complemento de a se a ∨ x = I e a ∧ x = 0

Dizemos que uma rede L é complementada se L for limitada e todo elemento de L tiver um complemento.

Exemplo: Determine o complemento de a e c na fig:

Solução: O complemento de a é d. Visto que, a ∨ d = 1 e a ∧ d = 0

O complemento de c não existe. Visto que não existe nenhum elemento c tal que c ∨ c'=1 e c ∧ c'= 0.

Malha Modular:

Uma rede (L, ∧,∨) é chamada de rede modular se a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c sempre que a ≦ c.

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Produto direto de redes:

Deixe (L₁∨₁∧₁)e eu₂∨₂∧₂) sejam duas redes. Então (L, ∧,∨) é o produto direto das redes, onde L = L₁xL₂em que a operação binária ∨(join) e ∧(meet) em L são tais que para qualquer (a₁,b₁)e (um₂,b₂) em L.

(a₁,b₁)∨(uma₂,b₂)=(uma₁∨₁a₂,b₁∨₂b₂)
e (um₁,b₁) ∧ (uma₂,b₂)=(uma₁∧₁a₂,b₁∧₂b₂).

Exemplo: Considere uma rede (L, ≦) conforme mostrado na fig. onde eu = {1, 2}. Determine as redes (L², ≦), onde eu²=L x L.

Solução: A treliça (L², ≦) é mostrado na fig: