Neste artigo, discutiremos a diferença simétrica entre dois conjuntos. Aqui, também discutiremos as propriedades da diferença simétrica entre dois conjuntos.
Espero que este artigo seja útil para você entender a diferença simétrica entre dois conjuntos.
O que é uma diferença simétrica?
Outra variante da diferença é a diferença simétrica. Suponha que existam dois conjuntos, A e B. A diferença simétrica entre os dois conjuntos A e B é o conjunto que contém os elementos que estão presentes em ambos os conjuntos, exceto os elementos comuns.
A diferença simétrica entre dois conjuntos também é chamada de união disjuntiva . A diferença simétrica entre dois conjuntos é um conjunto de elementos que estão em ambos os conjuntos, mas não em sua interseção. A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é representada por ADB ou A ? B .
Podemos entendê-lo por meio de exemplos.
Exemplo 1 Suponha que existam dois conjuntos com alguns elementos.
Conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}
Conjunto B = {3, 5}
Portanto, a diferença simétrica entre os conjuntos A e B fornecidos é {1, 2, 4}
Ou podemos dizer que UMAΔB = {1, 2, 4} .
Exemplo2 Suponha que existam dois conjuntos com alguns elementos.
Conjunto A = {a, b, c, k, m, n}
Conjunto B = {c, n}
Portanto, a diferença simétrica entre os conjuntos A e B fornecidos é {a, b, k, m}
Ou podemos dizer que UMA Δ B = {uma, b, k, m} .
No diagrama de Venn abaixo, você pode ver a diferença simétrica entre os dois conjuntos.
A parte sombreada com a cor da pele no diagrama de Venn acima é a diferença simétrica entre os conjuntos dados, ou seja, ADB .
Vamos ver algumas das propriedades da diferença simétrica entre dois conjuntos.
Propriedades
Existem algumas propriedades de diferença simétrica listadas a seguir;
- A diferença simétrica pode ser representada como a união de ambos os complementos relativos, ou seja,
UMA Δ B = (A/B) ∪ (B/A) - A diferença simétrica entre dois conjuntos também pode ser expressa como a união de dois conjuntos menos a intersecção entre eles -
UMA Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B) - A diferença simétrica é comutativa e também associativa -
UMA Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C) - O conjunto vazio é neutro (em matemática, um elemento neutro é considerado um tipo especial de elemento que, quando combinado com qualquer elemento do conjunto para realizar uma operação binária, deixa o elemento inalterado. Também é conhecido como conjunto Elemento de identidade ).
UMA Δ ∅ = UMA
UMA Δ UMA = ∅ - Se o conjunto A for igual ao conjunto B, então a diferença simétrica entre os dois conjuntos é -
A Δ B = ∅ {quando A = B}
'Diferença simétrica entre dois conjuntos' v/s 'Diferença entre dois conjuntos'
Diferença entre dois conjuntos
A diferença entre dois conjuntos A e B é um conjunto de todos os elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B e é denotado por A-B .
Exemplo: Seja A = {1, 2, 3, 4}
e B = {3, 4, 5, 6}
então A - B = {3, 4} e B - A = {5, 6}
Diferença simétrica entre dois conjuntos
A diferença simétrica entre dois conjuntos, A e B, é o conjunto que contém todos os elementos que estão em A ou B, mas não em ambos. É representado por ADB ou A ? B .
Exemplo: Seja A = {1, 2, 3, 4}
e B = {3, 4, 5, 6}
então A Δ B = {1, 2, 5, 6}
Agora, vamos ver alguns exemplos para entender mais claramente a diferença simétrica entre dois conjuntos.
Questão 1 - Suponha que você tenha os conjuntos A = {10, 15, 17, 19, 20} e B = {15, 16, 18}. Descubra a diferença entre os conjuntos A e B e também a diferença simétrica entre eles.
Solução - Dado,
flutuar para string
UMA = {10, 15, 17, 19, 20}
e B = {15, 16, 18}
A diferença entre os dois conjuntos é -
A - B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 17, 19, 20}
A diferença simétrica entre os dois conjuntos é -
UMA Δ B = {10, 15, 17, 19, 20} - {15, 16, 18}
= {10, 16, 17, 18, 19, 20}
Questão 2 - Suponha que você tenha os conjuntos A = {2, 4, 6, 8} e B = {2, 5, 7, 8}. Descubra a diferença simétrica B Δ A. Além disso, desenhe o diagrama de Venn para representar a diferença simétrica entre os dois conjuntos dados.
Solução - Dado, A = {2, 4, 6, 8} e B = {2, 5, 7, 8}
Sabemos que, B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
Vamos tentar resolver a questão passo a passo. Portanto, o primeiro passo é encontrar a união do conjunto A e do conjunto B.
Portanto, (B ∪ A) = {2, 5, 7, 8} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 5, 6, 7, 8}
Depois disso, temos que calcular a intersecção entre os dois conjuntos.
(B ∩ A) = {2, 5, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {2, 8}
Agora, temos que encontrar a diferença entre a união e a intersecção dos conjuntos A e B, conforme indicado na fórmula,
Então, (B ∪ A) - (B ∩ A) = {2, 4, 5, 6, 7, 8} - {2, 8}
= {4, 5, 6, 7}
Portanto, B Δ A = {4, 5, 6, 7}
Que será igual a A Δ B, como dito acima, 'A diferença simétrica é comutativa'. Agora, mostraremos a diferença simétrica entre os dois conjuntos através do diagrama de Venn.
No diagrama de Venn, primeiro desenharemos dois círculos representando os conjuntos A e B. Conforme calculado acima, a interseção entre os dois conjuntos é {2, 8}, portanto listamos esses elementos na região de interseção. Em seguida, listamos os elementos restantes em seus respectivos círculos de conjunto, ou seja, {4, 6} no conjunto A e {5, 7} no conjunto B. Após organizar os elementos, o diagrama de Venn será -
Quando olhamos para o diagrama de Venn acima, existe um conjunto universal U. Ambos os conjuntos A e B são o subconjunto do conjunto universal U. Os elementos {2, 8} são os elementos de interseção, portanto, são representados na região de interseção. A região de cor laranja claro é a união de conjuntos, exceto a região de intersecção. Esta região é a diferença simétrica entre os conjuntos A e B e será representada como -
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A) = {4, 5, 6, 7}
Questão 3 - Suponha que você tenha os conjuntos A = {5, 6, 8, 9, 10} e B = {2, 4, 7, 10, 19}.
Prove que a diferença simétrica é comutativa usando os conjuntos dados.
Solução - Dado, A = {5, 6, 8, 9, 10} e B = {2, 7, 8, 9, 10}
Provar: UMA Δ B = B Δ A
Tome LHS,
UMA Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
(A ∪ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∪ (2, 7, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(A ∩ B) = {5, 6, 8, 9, 10} ∩ (2, 7, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Então, A Δ B = {2, 5, 6, 7}
Agora, pegue RHS
B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)
(B ∪ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∪ {5, 6, 8, 9, 10}
= {2, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(B ∩ A) = (2, 7, 8, 9, 10} ∩ {5, 6, 8, 9, 10}
= {8, 9, 10}
Então, B Δ A = {2, 5, 6, 7}
Portanto, A Δ B = B Δ A
Portanto, a diferença simétrica é comutativa.