Se você estiver estudando trigonometria ou cálculo – ou se preparando para isso – você precisará se familiarizar com o círculo unitário. O círculo unitário é uma ferramenta essencial usada para resolver o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo. Mas como isso funciona? E quais informações você precisa saber para usá-lo?

Neste artigo, explicamos o que é o círculo unitário e por que você deve conhecê-lo. Também damos três dicas para ajudá-lo a lembrar como usar o círculo unitário.

Imagem de destaque: Gustavo /Wikimedia

O Círculo Unitário: Uma Introdução Básica

O círculo unitário é um círculo com raio 1. Isso significa que para qualquer linha reta traçada do ponto central do círculo até qualquer ponto ao longo da borda do círculo, o comprimento dessa linha será sempre igual a 1. (Isso também significa que o diâmetro do círculo será igual a 2, já que o diâmetro é igual ao dobro do comprimento do raio.)

Tipicamente, o ponto central do círculo unitário é onde os eixos xey se cruzam ou nas coordenadas (0, 0):

O círculo unitário, ou círculo trigonométrico, como também é conhecido, é útil saber porque permite calcular facilmente o cosseno, o seno e a tangente de qualquer ângulo entre 0° e 360° (ou 0 e 2π radianos).

Como você pode ver no diagrama acima, ao desenhar um raio em qualquer ângulo (marcado por ∝ na imagem), você estará criando um triângulo retângulo. Neste triângulo, o cosseno é a linha horizontal e o seno é a linha vertical. Em outras palavras, cosseno =coordenada x, e seno = coordenada y. (A linha mais longa do triângulo, ou hipotenusa, é o raio e, portanto, é igual a 1.)

Por que tudo isso é importante? Lembre-se de que você pode resolver os comprimentos dos lados de um triângulo usando o Teorema de Pitágoras, ou $a^2+b^2=c^2$ (no qual a e b são os comprimentos dos lados do triângulo, e c é o comprimento da hipotenusa).

Sabemos que o cosseno de um ângulo é igual ao comprimento da reta horizontal, o seno é igual ao comprimento da reta vertical e a hipotenusa é igual a 1. Portanto, podemos dizer que a fórmula para qualquer triângulo retângulo no círculo unitário é a seguinte:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Como ^2=1$, podemos simplificar esta equação assim:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Esteja ciente que esses valores podem ser negativos dependendo do ângulo formado e em qual quadrante as coordenadas x e y se enquadram (explicarei isso com mais detalhes posteriormente).

exemplos nfa

Aqui está uma visão geral de todos os principais ângulos em graus e radianos no círculo unitário:

Círculo Unitário - Graus

Círculo Unitário - Radianos

Mas e se não houver nenhum triângulo formado? Vamos olhar para o que acontece quando o ângulo é 0°, criando uma linha reta horizontal ao longo do eixo x:

Nesta reta, a coordenada x é igual a 1 e a coordenada y é igual a 0. Sabemos que o cosseno é igual à coordenada x e o seno é igual à coordenada y, então podemos escrever isso:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

E se o ângulo é de 90° e forma uma linha perfeitamente vertical ao longo do eixo y?

Aqui, podemos ver que a coordenada x é igual a 0 e a coordenada y é igual a 1. Isso nos dá os seguintes valores para seno e cosseno:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Este slogan definitivamente se aplica se você não é um amante da matemática.

Por que você deve conhecer o círculo unitário

Como afirmado acima, o círculo unitário é útil porque permite-nos resolver facilmente o seno, o cosseno ou a tangente de qualquer grau ou radiano. É especialmente útil conhecer o gráfico do círculo unitário se você precisar resolver certos valores trigonométricos para o dever de casa de matemática ou se estiver se preparando para estudar cálculo.

Mas como exatamente conhecer o círculo unitário pode ajudá-lo? Digamos que você tenha enfrentado o seguinte problema em uma prova de matemática e esteja não permitido usar uma calculadora para resolvê-lo:

$$sen30°$$

Por onde você começa? Vamos dar uma olhada no gráfico do círculo unitário novamente – desta vez com todos os ângulos principais (em graus e radianos) e suas coordenadas correspondentes:

Jim.belk /Wikimedia

Não fique sobrecarregado! Lembre-se, tudo o que você está resolvendo é $sin30°$. Olhando para este gráfico, podemos ver que a coordenada y é igual a /2$ a 30°. E como a coordenada y é igual ao seno, nossa resposta é a seguinte:

$$sen30°=1/2$$

Mas e se você tiver um problema que usa radianos em vez de graus? O processo para resolvê-lo ainda é o mesmo. Digamos, por exemplo, que você tenha um problema parecido com este:

$$cos{{3π}/4}$$

Novamente, usando o gráfico acima, podemos ver que a coordenada x (ou cosseno) para ${3π}/4$ (que é igual a 135°) é $-{√2}/2$. Esta é a aparência de nossa resposta para esse problema:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Tudo isso é muito fácil se você tiver o gráfico do círculo unitário acima para usar como referência. Mas na maior parte (se não em todas) das vezes, esse não será o caso, e espera-se que você responda a esses tipos de questões matemáticas usando apenas o cérebro.

Então, como você pode se lembrar do círculo unitário? Leia nossas principais dicas!

Como lembrar o círculo unitário: três dicas essenciais

Nesta seção, damos a você nossas principais dicas para lembrar o círculo trigonométrico, para que você possa usá-lo com facilidade em qualquer problema matemático que o exija.

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Eu não recomendaria praticar o círculo unitário com post-its, mas, ei, é um começo.

Nº 1: Memorize ângulos e coordenadas comuns

Para usar o círculo unitário de forma eficaz, você precisará memorize os ângulos mais comuns (em graus e radianos), bem como suas coordenadas x e y correspondentes.

O diagrama acima é um gráfico de círculo unitário útil de se observar, pois inclui todos os ângulos principais em graus e radianos, além de seus pontos de coordenadas correspondentes ao longo dos eixos x e y.

Aqui está um gráfico listando essas mesmas informações em forma de tabela:

Agora, embora você seja mais que bem-vindo para tentar memorizar todas essas coordenadas e ângulos, isto é bastante de coisas para lembrar.

Felizmente, existe um truque que você pode usar para ajudá-lo a lembrar as partes mais importantes do círculo unitário.

Observe as coordenadas acima e você notará um padrão claro: todos os pontos (excluindo aqueles em 0°, 90°, 270° e 360°) alterne entre apenas três valores (sejam positivos ou negativos):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Cada valor corresponde a uma linha curta, média ou longa para cosseno e seno:

Aqui está o que esses comprimentos significam:

Linha curta horizontal ou vertical=/2$ Linha média horizontal ou vertical=${√2}/2$ Linha horizontal ou vertical longa=${√3}/2$

Por exemplo, se você está tentando resolver $cos{π/3}$, você deve saber imediatamente que este ângulo (que é igual a 60°) indica uma pequena linha horizontal no círculo unitário. Portanto, sua coordenada x correspondente deve ser igual a /2$ (um valor positivo, pois $π/3$ cria um ponto no primeiro quadrante do sistema de coordenadas).

Finalmente, embora seja útil memorizar todos os ângulos da tabela acima, observe que de longe, os ângulos mais importantes a serem lembrados são os seguintes:

• 30° /$p/
• 45° /$p/4$
• 60° /$p/3$

Trate seus pontos negativos e positivos como trataria cabos que podem potencialmente matá-lo se conectados incorretamente.

Nº 2: Aprenda o que é negativo e o que é positivo

É fundamental ser capaz de distinguir coordenadas x e y positivas e negativas para que você encontre o valor correto para um problema trigonométrico. Como um lembrete, Em se uma coordenada no círculo unitário será positiva ou negativa depende de em qual quadrante (I, II, III ou IV) o ponto se enquadra:

Aqui está um gráfico que mostra se uma coordenada será positiva ou negativa com base no quadrante em que um determinado ângulo (em graus ou radianos) está:

Por exemplo, digamos que você tenha enfrentado o seguinte problema em um teste de matemática:

$$cos210°$$

Antes mesmo de tentar resolvê-lo, você deverá ser capaz de reconhecer que a resposta será um número negativo já que o ângulo 210° cai no quadrante III (onde as coordenadas x são sempre negativo).

Agora, usando o truque que aprendemos na dica 1, você pode descobrir que um ângulo de 210° cria uma longa linha horizontal. Portanto, nossa resposta é a seguinte:

$$cos210°=-{√3}/2$$

Nº 3: Saiba como resolver a tangente

Por último, é essencial saber usar todas essas informações sobre o círculo trigonométrico e seno e cosseno para poder calcular resolver a tangente de um ângulo.

Em trigonometria, para encontrar a tangente de um ângulo θ (em graus ou radianos), você simplesmente divida o seno pelo cosseno:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Por exemplo, digamos que você esteja tentando responder a este problema:

$$ an300°$$

O primeiro passo é configurar uma equação em termos de seno e cosseno:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Agora, para resolver a tangente, precisamos encontrar o seno e cosseno de 300°. Você deve ser capaz de reconhecer rapidamente que o ângulo de 300° cai no quarto quadrante, o que significa que o cosseno, ou coordenada x, será positivo, e o seno, ou coordenada y, será negativo.

Você também deve saber imediatamente que o ângulo de 300° cria uma linha horizontal curta e uma linha vertical longa. Portanto, o cosseno (a linha horizontal) será igual a /2$, e o seno (a linha vertical) será igual a $-{√3}/2$ (um valor de y negativo, já que este ponto está no quadrante IV) .

Agora, para encontrar a tangente, basta conectar e resolver:

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$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

É hora de praticar suas habilidades matemáticas!

Conjunto de perguntas práticas do círculo unitário

Agora que você sabe como é o círculo unitário e como usá-lo, vamos testar o que você aprendeu com alguns problemas práticos.

Questões

1. $sen45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Respostas

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3$

Explicações de resposta

#1: $sen45°$

Com esse problema, há duas informações que você deve conseguir identificar imediatamente:

A resposta será positiva,já que o ângulo de 45° está no quadrante I, e o seno de um ângulo é igual à coordenada y

• O ângulo de 45° cria uma linha vertical de comprimento médio (pare eles)

Como 45° indica uma linha positiva de comprimento médio, a resposta correta é ${√2}/2$.

Se você não tiver certeza de como descobrir isso, desenhe um diagrama para ajudá-lo a determinar se o comprimento da linha será curto, médio ou longo.

#2: $cos240°$

Assim como o problema nº 1 acima, há duas informações que você deve ser capaz de compreender rapidamente com este problema:

A resposta será negativa,já que o ângulo 240° está no quadrante III, e o cosseno de um ângulo é igual à coordenada x

• O ângulo de 240° cria uma pequena linha horizontal (para cosseno)

Como 240° indica uma linha curta e negativa, a resposta correta é $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

Ao contrário dos problemas acima, este problema usa radianos em vez de graus. Embora isso possa fazer com que o problema pareça mais complicado de resolver, na realidade ele usa as mesmas etapas básicas dos outros dois problemas.

Primeiro, você deve reconhecer que o ângulo ${5π}/3$ está no quadrante IV, então a coordenada x, ou cosseno, será um número positivo. Você também deve ser capaz de dizer isso${5π}/3$cria uma pequena linha horizontal.

Isso fornece informações suficientes para determinar que o a resposta é $ 1/2 $.

#4: $ an{2π}/3$

Este problema lida com tangente em vez de seno ou cosseno, o que significa que exigirá um pouco mais de matemática da nossa parte. Primeiro, lembre-se a fórmula básica para encontrar a tangente:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Agora, vamos pegar o diploma que recebemos—${2π}/3$- e insira-o nesta equação:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Agora você deve ser capaz de resolver o seno e o cosseno separadamente usando o que memorizou sobre o círculo unitário. Como o ângulo ${2π}/3$ está no quadrante II, a coordenada x (ou cosseno) será negativa e a coordenada y (ou seno) será positiva.

Em seguida, você deverá ser capaz de determinar, com base apenas no ângulo, que a linha horizontal é uma linha curta, e a linha vertical é uma longa fila. Isso significa que o cosseno é igual a $-1/2$ e o seno é igual a ${√3}/2$.

Agora que descobrimos esses valores, tudo o que precisamos fazer é inseri-los em nossa equação inicial e resolver a tangente:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Qual é o próximo?

Se você estiver fazendo o SAT ou ACT em breve, precisará saber um pouco de trigonometria para ter um bom desempenho na seção de matemática. Dê uma olhada em nossos guias especializados para trigonometria no SAT e ACT para que você possa aprender exatamente o que precisa saber para o dia do teste!

Além de memorizar o círculo unitário, é uma boa ideia aprender como inserir números e como inserir respostas. Leia nossos guias para aprender tudo sobre essas duas estratégias úteis, que você pode usar em qualquer teste de matemática – incluindo o SAT e o ACT!