Quais são os fatores de 45? 1, 3, 5, 9, 15 e 45.
Quer saber como cheguei a esses números? Fatoração! Por fornecer uma base matemática para sistemas mais complicados, aprender como fatorar é fundamental. Portanto, se você está estudando para um teste de álgebra, se preparando para o SAT ou ACT, ou apenas deseja se atualizar e lembrar como fatorar números para ordens superiores de matemática, este é o guia para você.
O que é fatoração?
Fatorar é o processo de encontrar cada número inteiro que pode ser multiplicado por outro número inteiro para igualar um número alvo . Ambos os múltiplos serão fatores do número alvo.
Fatorar números pode parecer apenas uma tarefa tediosa ou uma memorização mecânica sem objetivo final, mas a fatoração é uma técnica que ajuda a construir a espinha dorsal de processos matemáticos muito mais complexos.
Sem saber como fatorar, seria absolutamente difícil (se não impossível) entender os polinômios e o cálculo, e até mesmo tornaria tarefas simples como dividir um cheque muito mais complicadas de descobrir na cabeça.
Quais são os fatores de 45? Factoring em Ação
Este conceito pode ser difícil de visualizar, então vamos dar uma olhada em todos os fatores de 45 para ver esse processo em ação. Os fatores de 45 são os pares de números que equivalem a 45 quando multiplicados :
1 e 45 (porque 1 * 45 = 45)
3 e 15 (porque 3 * 15 = 45)
5 e 9 (porque 5 * 9 = 45)
Então, em forma de lista, os 45 fatores são 1, 3, 5, 9, 15 e 45 .
Felizmente para nós, o factoring requer apenas as duas funções principais desta imagem (oba!)
Fatoração Primária e os Fatores Primários de 45
Um número primo é qualquer número inteiro maior que 1 que possa apenas ser dividido (igualmente) por 1 e por ele mesmo. Uma lista dos menores números primos é 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... e assim por diante.
Melhor fatoração significa encontrar os fatores primos de um número alvo que, quando multiplicados juntos, são iguais a esse número alvo. Portanto, se estivermos usando 45 como nosso número alvo, queremos encontrar apenas os fatores primos de 45 que precisam ser multiplicados para serem iguais a 45.
Sabemos pelos fatores da lista 45 acima que apenas alguns desses fatores (3 e 5) são números primos. Mas também sabemos que 3 * 5 faz não igual a 45. Portanto, 3 * 5 é uma fatoração primária incompleta.
A maneira mais fácil de encontrar um completo A fatoração primária de qualquer número alvo é usar o que é essencialmente uma divisão 'invertida' e dividir apenas pelo menor primo que pode caber em cada resultado.
Por exemplo:
Divida o número alvo (45) pelo menor primo que pode ser fatorado nele. Neste caso, são 3.
Terminamos com 15. Agora divida 15 pelo menor primo que pode ser fatorado. Neste caso, é novamente 3.
Terminamos com um resultado de 5. Agora divida 5 pelo menor número primo que pode ser fatorado nele. Neste caso, são 5.
Isso nos deixa com 1, então terminamos.
A fatoração primária será todos os números 'externos' multiplicados. Quando multiplicados, o resultado será 45. (Observação: não incluímos 1, porque 1 não é um número primo.)
Nossa fatoração primária final de 45 é 3*3*5.
Um tipo diferente de Prime.
Descobrindo os fatores de qualquer número
Ao descobrir os fatores, a maneira mais rápida é encontrar o fator pares como fizemos anteriormente para todos os fatores de 45. Ao encontrar os pares, você corta seu trabalho pela metade, já que está encontrando os menores e maiores fatores ao mesmo tempo.
Agora, a maneira mais rápida de descobrir todos os pares de fatores necessários para fatorar o número alvo é encontrar a raiz sobressalente do número alvo (ou a raiz quadrada e arredondar para o número inteiro mais próximo) e usar esse número como seu parando ponto para encontrar pequenos fatores.
Por que? Porque você já terá encontrado todos os fatores maiores que o quadrado encontrando os pares de fatores menores. E você só repetirá esses fatores se continuar tentando encontrar fatores maiores que a raiz quadrada.
Não se preocupe se isso parece confuso agora! Trabalharemos com um exemplo para mostrar como você pode evitar perder tempo encontrando os mesmos fatores novamente.
Então vamos ver o método em ação para encontrar todos os fatores de 64:
Primeiro, vamos calcular a raiz quadrada de 64.
√64 = 8
Agora sabemos apenas focar nos números inteiros de 1 a 8 para encontrar a primeira metade de todos os nossos pares de fatores.
Nº 1: Nosso primeiro par de fatores será 1 e 64
#2: 64 é um número par, então nosso próximo par de fatores será 2 e 32.
#3: 64 não pode ser dividido igualmente por 3, então 3 NÃO é um fator.
#4: 64/4 = 16, então nosso próximo par de fatores será 4 e 16.
#5: 64 não é divisível por 5, então 5 NÃO é um fator de 64.
#6: 6 não cabe uniformemente em 64, então 6 NÃO é um fator de 64.
#7: 7 não é uniforme em 64, então 7 NÃO é um fator de 64.
#8: 8 * 8 (8 ao quadrado) é igual a 64, então 8 é um fator de 64.
E podemos parar por aqui, porque 8 é a raiz quadrada de 64. Se continuássemos a tentar determinar os fatores, apenas repetiríamos os números maiores dos nossos pares de fatores anteriores (16, 32, 64).
Nossa lista final de fatores de 64 é 1, 2, 4, 8, 16, 32 e 64.
Fatores (como patinhos) são sempre melhores em pares.
Atalhos para determinação de fatores
Agora vamos ver como podemos rapidamente encontre os menores fatores (e, portanto, os pares de fatores) de um número alvo. Abaixo, descrevi alguns truques úteis para saber se os números de 1 a 11 são fatores de um determinado número.
1) Sempre que quiser fatorar um número, você pode começar imediatamente com dois fatores: 1 e o número alvo (por exemplo, 1 e 45, se estiver fatorando 45). Qualquer número (diferente de 0) sempre pode ser multiplicado por 1 para ser igual a si mesmo, então 1 vontade sempre ser um fator.
2) Se o número alvo for par, seus próximos fatores serão 2 e meio do número alvo. Se o número for ímpar, você saberá automaticamente que ele não pode ser dividido igualmente por 2 e, portanto, 2 NÃO será um fator. (Na verdade, se o número alvo for ímpar, não terá fatores de NENHUM número par.)
3) Uma maneira rápida de descobrir se um número é divisível por 3 é somar os dígitos do número alvo. Se 3 for um fator da soma dos dígitos, então 3 também será um fator do número alvo.
Por exemplo, digamos que nosso número alvo seja 117 e devemos fatorá-lo. Podemos descobrir se 3 é um fator somando os dígitos do número alvo (117):
1 + 1 + 7 = 9
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3 pode ser multiplicado por 3 para ser igual a 9, então 3 poderá ser igual a 117.
117/3 = 39
3 e 39 são fatores de 117.
4) Um número alvo só terá um fator de 4 se o número alvo for par . Se for, você pode descobrir se 4 é um fator observando o resultado de um par de fatores anterior. Se, ao dividir um número alvo por 2, o resultado ainda for par, o número alvo também será divisível por 4. Caso contrário, o número alvo NÃO terá um fator de 4.
Por exemplo:
18/2 = 9. 18 NÃO é divisível por 4 porque 9 é um número ímpar.
56/2 = 28. 56 É divisível por 4 porque 28 é um número par.
5) 5 será um fator de todo e qualquer número terminado nos dígitos 5 ou 0 . Se o alvo terminar em qualquer outro número, não terá fator 5.
6) 6 sempre será um fator de um número alvo se o número alvo tiver fatores de AMBOS 2 e 3 . Caso contrário, 6 não será um fator.
7) Infelizmente, não existem atalhos para descobrir se 7 é um fator de um número diferente de lembrar os múltiplos de 7.
8) Se o alvo número NÃO tem fatores de 2 e 4, também não terá fator de 8 . Se tiver fatores de 2 e 4, poder tem um fator de 8, mas você terá que dividir para ver (infelizmente, não há nenhum truque legal além disso e lembrar os múltiplos de 8).
9) Você pode descobrir se 9 é um fator por somando os dígitos do número alvo . Se a soma for um múltiplo de 9, o número alvo terá 9 como fator.
Por exemplo:
42 → 4 + 2 = 6. 6 NÃO é divisível por 9, então 9 NÃO é um fator de 42.
72→ 7 + 2 = 9. 9 É divisível por 9 (obviamente!), então 9 é um fator de 72.
10) Se um alvo número termina em 0 , então sempre terá um fator 10. Caso contrário, 10 não será um fator.
onze) Se um número alvo for um número de dois dígitos com ambos os dígitos repetidos (22, 33, 66, 77…), então terá 11 como fator. Se for um número de três dígitos ou superior, você terá que simplesmente testar se é divisível por 11.
12+) Neste ponto, você provavelmente já encontrou seus números maiores, como 12, 13 e 14, encontrando seus fatores menores e formando pares de fatores. Caso contrário, você terá que testá-los manualmente, dividindo-os em seu número alvo.
Aprender suas técnicas de fatoração rápida permitirá que todas essas peças incômodas se encaixem perfeitamente.
Dicas para lembrar 45 fatores
Se o seu objetivo é lembrar todos os fatores de 45, você sempre pode usar as técnicas acima para encontrar pares de fatores.
A raiz quadrada de 45 está em algum lugar entre 6 e 7 (6^2 = 36 e 7^2 = 49). Arredonde para 6, que será o maior número pequeno que você precisa testar.
Você sabe que o primeiro par será automaticamente 1 e 45. Você também sabe que 2, 4 e 6 não serão fatores, porque 45 é um número ímpar.
4 + 5 = 9, então 3 será um fator (assim como 15, porque 45/3 = 15).
E finalmente, 45 termina em 5, então 5 será um fator (assim como 9, porque 45/5 = 9).
Isso vai mostrar que você pode sempre descobrir os fatores de 45 com extrema rapidez, mesmo que você não tenha memorizado os números exatos da lista.
Ou, se preferir memorizar todos os 45 fatores especificamente, você pode lembrar disso, para fatorar 45, tudo que você precisa são os três menores números ímpares (1, 3, 5) . Agora basta combiná-los com seus múltiplos correspondentes para obter 45 (45, 15, 9).
Conclusão: Por que o factoring é importante
A fatoração fornece a base para formas superiores de pensamento matemático, portanto, aprender como fatorar será útil em seus empreendimentos matemáticos atuais e futuros.
Esteja você aprendendo pela primeira vez ou apenas dedicando um tempo para atualizar seu conhecimento sobre fatores, seguir as etapas para entender esses processos (e conhecer os truques para obter seus fatores com mais eficiência!) ajudará você a chegar onde deseja. estar em sua vida matemática.
Feliz Factoring!