É uma ferramenta útil que descreve completamente a ordem parcial associada. Portanto, também é chamado de diagrama de ordenação. É muito fácil converter um gráfico direcionado de uma relação em um conjunto A em um diagrama de Hasse equivalente. Portanto, ao desenhar um diagrama de Hasse, os seguintes pontos devem ser lembrados.
- Os vértices no diagrama de Hasse são denotados por pontos e não por círculos.
- Como uma ordem parcial é reflexiva, cada vértice de A deve estar relacionado a si mesmo, então as arestas de um vértice a si mesmo são excluídas no diagrama de Hasse.
- Como uma ordem parcial é transitiva, sempre que aRb, bRc, temos aRc. Elimine todas as arestas implícitas na propriedade transitiva no diagrama de Hasse, ou seja, exclua a aresta de a a c, mas retenha as outras duas arestas.
- Se um vértice 'a' estiver conectado ao vértice 'b' por uma aresta, ou seja, aRb, então o vértice 'b' aparece acima do vértice 'a'. Portanto, a seta pode ser omitida das arestas do diagrama de Hasse.
O diagrama de Hasse é muito mais simples que o gráfico direcionado de ordem parcial.
Exemplo: Considere o conjunto A = {4, 5, 6, 7}. Seja R a relação ≦ em A. Desenhe o gráfico direcionado e o diagrama de Hasse de R.
tipos de rede
Solução: A relação ≦ no conjunto A é dada por
R = {{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 4}, {5, 5} , {6, 6}, {7, 7}}
O gráfico direcionado da relação R é mostrado na fig:
Para desenhar o diagrama de Hasse de ordem parcial, aplique os seguintes pontos:
- Exclua todas as arestas implícitas na propriedade reflexiva, ou seja,
(4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7) - Exclua todas as arestas implícitas na propriedade transitiva, ou seja,
(4, 7), (5, 7), (4, 6) - Substitua os círculos que representam os vértices por pontos.
- Omita as setas.
O diagrama de Hasse é mostrado na fig:
Limite superior: Considere B como um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado A. Um elemento x ∈ A é chamado de limite superior de B se y ≦ x para cada y ∈ B.
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Limite inferior: Considere B como um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado A. Um elemento z ∈ A é chamado de limite inferior de B se z ≦ x para cada x ∈ B.
Exemplo: Considere o poset A = {a, b, c, d, e, f, g} ordenado mostrado na fig. Seja também B = {c, d, e}. Determine o limite superior e inferior de B.
Solução: O limite superior de B é e, f e g porque cada elemento de B é '≦' e, f e g.
Os limites inferiores de B são aeb porque aeb são '≦' todos os elementos de B.
Limite mínimo superior (SUPREMO):
Seja A um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado S. Um elemento M em S é chamado de limite superior de A se M suceder todos os elementos de A, ou seja, se, para cada x em A, tivermos x<=m< p>
Se um limite superior de A precede todos os outros limites superiores de A, então ele é chamado de supremo de A e é denotado por Sup (A)
Maior limite inferior (INFIM):
Um elemento m em um poset S é chamado de limite inferior de um subconjunto A de S se m precede todo elemento de A, ou seja, se, para cada y em A, temos m<=y < p>
Se um limite inferior de A sucede a todos os outros limites inferiores de A, então ele é chamado de ínfimo de A e é denotado por Inf (A)
Exemplo: Determine o menor limite superior e o maior limite inferior de B = {a, b, c}, se existirem, do poset cujo diagrama de Hasse é mostrado na fig:
Solução: O limite superior mínimo é c.
'abc' está em números'
O maior limite inferior é k.