É uma ferramenta útil que descreve completamente a ordem parcial associada. Portanto, também é chamado de diagrama de ordenação. É muito fácil converter um gráfico direcionado de uma relação em um conjunto A em um diagrama de Hasse equivalente. Portanto, ao desenhar um diagrama de Hasse, os seguintes pontos devem ser lembrados.

1. Os vértices no diagrama de Hasse são denotados por pontos e não por círculos.
2. Como uma ordem parcial é reflexiva, cada vértice de A deve estar relacionado a si mesmo, então as arestas de um vértice a si mesmo são excluídas no diagrama de Hasse.
3. Como uma ordem parcial é transitiva, sempre que aRb, bRc, temos aRc. Elimine todas as arestas implícitas na propriedade transitiva no diagrama de Hasse, ou seja, exclua a aresta de a a c, mas retenha as outras duas arestas.
4. Se um vértice 'a' estiver conectado ao vértice 'b' por uma aresta, ou seja, aRb, então o vértice 'b' aparece acima do vértice 'a'. Portanto, a seta pode ser omitida das arestas do diagrama de Hasse.

O diagrama de Hasse é muito mais simples que o gráfico direcionado de ordem parcial.

Exemplo: Considere o conjunto A = {4, 5, 6, 7}. Seja R a relação ≦ em A. Desenhe o gráfico direcionado e o diagrama de Hasse de R.

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Solução: A relação ≦ no conjunto A é dada por

R = {{4, 5}, {4, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {4, 4}, {5, 5} , {6, 6}, {7, 7}}

O gráfico direcionado da relação R é mostrado na fig:

Para desenhar o diagrama de Hasse de ordem parcial, aplique os seguintes pontos:

1. Exclua todas as arestas implícitas na propriedade reflexiva, ou seja,
   (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7)
2. Exclua todas as arestas implícitas na propriedade transitiva, ou seja,
   (4, 7), (5, 7), (4, 6)
3. Substitua os círculos que representam os vértices por pontos.
4. Omita as setas.

O diagrama de Hasse é mostrado na fig:

Limite superior: Considere B como um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado A. Um elemento x ∈ A é chamado de limite superior de B se y ≦ x para cada y ∈ B.

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Limite inferior: Considere B como um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado A. Um elemento z ∈ A é chamado de limite inferior de B se z ≦ x para cada x ∈ B.

Exemplo: Considere o poset A = {a, b, c, d, e, f, g} ordenado mostrado na fig. Seja também B = {c, d, e}. Determine o limite superior e inferior de B.

Solução: O limite superior de B é e, f e g porque cada elemento de B é '≦' e, f e g.

Os limites inferiores de B são aeb porque aeb são '≦' todos os elementos de B.

Limite mínimo superior (SUPREMO):

Seja A um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado S. Um elemento M em S é chamado de limite superior de A se M suceder todos os elementos de A, ou seja, se, para cada x em A, tivermos x<=m< p>

Se um limite superior de A precede todos os outros limites superiores de A, então ele é chamado de supremo de A e é denotado por Sup (A)

Maior limite inferior (INFIM):

Um elemento m em um poset S é chamado de limite inferior de um subconjunto A de S se m precede todo elemento de A, ou seja, se, para cada y em A, temos m<=y < p>

Se um limite inferior de A sucede a todos os outros limites inferiores de A, então ele é chamado de ínfimo de A e é denotado por Inf (A)

Exemplo: Determine o menor limite superior e o maior limite inferior de B = {a, b, c}, se existirem, do poset cujo diagrama de Hasse é mostrado na fig:

Solução: O limite superior mínimo é c.

'abc' está em números'

O maior limite inferior é k.