Dado um gráfico Euleriano direcionado, a tarefa é imprimir um Circuito de Euler . Um circuito de Euler é um caminho que percorre cada aresta de um grafo exatamente uma vez e o caminho termina no vértice inicial.
Observação: O gráfico fornecido contém um circuito de Euler.
Exemplo:
Entrada: gráfico direcionado
Saída: 0 3 4 0 2 1 0
Pré-requisitos:
- Nós discutimos o problema de descobrir se um determinado gráfico é euleriano ou não para um gráfico não direcionado
- Condições para circuito Euleriano em um Grpag Direcionado: (1) Todos os vértices pertencem a um único componente fortemente conectado. (2) Todos os vértices têm o mesmo grau de entrada e de saída. Observe que para um gráfico não direcionado a condição é diferente (todos os vértices têm grau par)
Abordagem:
- Escolha qualquer vértice inicial v e siga uma trilha de arestas desse vértice até retornar a v. Não é possível ficar preso em qualquer vértice diferente de v porque o grau de entrada e o grau de saída de cada vértice devem ser iguais quando a trilha entra em outro vértice w deve haver uma aresta não utilizada saindo de w. O passeio formado desta forma é um passeio fechado, mas pode não cobrir todos os vértices e arestas do grafo inicial.
- Contanto que exista um vértice u que pertença ao passeio atual, mas que tenha arestas adjacentes que não fazem parte do passeio, inicie outra trilha a partir de u seguindo arestas não utilizadas até retornar a u e junte o passeio assim formado ao passeio anterior.
Ilustração:
Tomando como exemplo o gráfico acima com 5 nós: adj = {{2 3} {0} {1} {4} {0}}.
- Comece no vértice 0 :
- Caminho Atual: [0]
- Circuito: []
- Vértice 0 → 3 :
- Caminho Atual: [0 3]
- Circuito: []
- Vértice 3 → 4 :
- Caminho Atual: [0 3 4]
- Circuito: []
- Vértice 4 → 0 :
- Caminho Atual: [0 3 4 0]
- Circuito: []
- Vértice 0 → 2 :
- Caminho Atual: [0 3 4 0 2]
- Circuito: []
- Vértice 2 → 1 :
- Caminho Atual: [0 3 4 0 2 1]
- Circuito: []
- Vértice 1 → 0 :
- Caminho Atual: [0 3 4 0 2 1 0]
- Circuito: []
- Voltar para o vértice 0 : Adicione 0 ao circuito.
- Caminho Atual: [0 3 4 0 2 1]
- Circuito: [0]
- Voltar para o vértice 1 : Adicione 1 ao circuito.
- Caminho Atual: [0 3 4 0 2]
- Circuito: [0 1]
- Voltar para o vértice 2 : Adicione 2 ao circuito.
- Caminho Atual: [0 3 4 0]
- Circuito: [0 1 2]
- Voltar para o vértice 0 : Adicione 0 ao circuito.
- Caminho Atual: [0 3 4]
- Circuito: [0 1 2 0]
- Voltar para o vértice 4 : Adicione 4 ao circuito.
- Caminho Atual: [0 3]
- Circuito: [0 1 2 0 4]
- Voltar para o vértice 3 : Adicione 3 ao circuito.
- Caminho Atual: [0]
- Circuito: [0 1 2 0 4 3]
- Voltar para o vértice 0 : Adicione 0 ao circuito.
- Caminho Atual: []
- Circuito: [0 1 2 0 4 3 0]
Abaixo está a implementação da abordagem acima:
C++// C++ program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm #include
// Java program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm import java.util.*; class GfG { // Function to print Eulerian circuit static List<Integer> printCircuit(List<List<Integer>> adj) { int n = adj.size(); if (n == 0) return new ArrayList<>(); // Maintain a stack to keep vertices // We can start from any vertex here we start with 0 List<Integer> currPath = new ArrayList<>(); currPath.add(0); // list to store final circuit List<Integer> circuit = new ArrayList<>(); while (currPath.size() > 0) { int currNode = currPath.get(currPath.size() - 1); // If there's remaining edge in adjacency list // of the current vertex if (adj.get(currNode).size() > 0) { // Find and remove the next vertex that is // adjacent to the current vertex int nextNode = adj.get(currNode).get(adj.get(currNode).size() - 1); adj.get(currNode).remove(adj.get(currNode).size() - 1); // Push the new vertex to the stack currPath.add(nextNode); } // back-track to find remaining circuit else { // Remove the current vertex and // put it in the circuit circuit.add(currPath.get(currPath.size() - 1)); currPath.remove(currPath.size() - 1); } } // reverse the result vector Collections.reverse(circuit); return circuit; } public static void main(String[] args) { List<List<Integer>> adj = new ArrayList<>(); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(2 3))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(0))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(1))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(4))); adj.add(new ArrayList<>(Arrays.asList(0))); List<Integer> ans = printCircuit(adj); for (int v : ans) System.out.print(v + ' '); System.out.println(); } }
# Python program to print Eulerian circuit in given # directed graph using Hierholzer algorithm # Function to print Eulerian circuit def printCircuit(adj): n = len(adj) if n == 0: return [] # Maintain a stack to keep vertices # We can start from any vertex here we start with 0 currPath = [0] # list to store final circuit circuit = [] while len(currPath) > 0: currNode = currPath[-1] # If there's remaining edge in adjacency list # of the current vertex if len(adj[currNode]) > 0: # Find and remove the next vertex that is # adjacent to the current vertex nextNode = adj[currNode].pop() # Push the new vertex to the stack currPath.append(nextNode) # back-track to find remaining circuit else: # Remove the current vertex and # put it in the circuit circuit.append(currPath.pop()) # reverse the result vector circuit.reverse() return circuit if __name__ == '__main__': adj = [[2 3] [0] [1] [4] [0]] ans = printCircuit(adj) for v in ans: print(v end=' ') print()
// C# program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm using System; using System.Collections.Generic; class GfG { // Function to print Eulerian circuit static List<int> printCircuit(List<List<int>> adj) { int n = adj.Count; if (n == 0) return new List<int>(); // Maintain a stack to keep vertices // We can start from any vertex here we start with 0 List<int> currPath = new List<int> { 0 }; // list to store final circuit List<int> circuit = new List<int>(); while (currPath.Count > 0) { int currNode = currPath[currPath.Count - 1]; // If there's remaining edge in adjacency list // of the current vertex if (adj[currNode].Count > 0) { // Find and remove the next vertex that is // adjacent to the current vertex int nextNode = adj[currNode][adj[currNode].Count - 1]; adj[currNode].RemoveAt(adj[currNode].Count - 1); // Push the new vertex to the stack currPath.Add(nextNode); } // back-track to find remaining circuit else { // Remove the current vertex and // put it in the circuit circuit.Add(currPath[currPath.Count - 1]); currPath.RemoveAt(currPath.Count - 1); } } // reverse the result vector circuit.Reverse(); return circuit; } static void Main(string[] args) { List<List<int>> adj = new List<List<int>> { new List<int> { 2 3 } new List<int> { 0 } new List<int> { 1 } new List<int> { 4 } new List<int> { 0 } }; List<int> ans = printCircuit(adj); foreach (int v in ans) { Console.Write(v + ' '); } Console.WriteLine(); } }
// JavaScript program to print Eulerian circuit in given // directed graph using Hierholzer algorithm // Function to print Eulerian circuit function printCircuit(adj) { let n = adj.length; if (n === 0) return []; // Maintain a stack to keep vertices // We can start from any vertex here we start with 0 let currPath = [0]; // list to store final circuit let circuit = []; while (currPath.length > 0) { let currNode = currPath[currPath.length - 1]; // If there's remaining edge in adjacency list // of the current vertex if (adj[currNode].length > 0) { // Find and remove the next vertex that is // adjacent to the current vertex let nextNode = adj[currNode].pop(); // Push the new vertex to the stack currPath.push(nextNode); } // back-track to find remaining circuit else { // Remove the current vertex and // put it in the circuit circuit.push(currPath.pop()); } } // reverse the result vector circuit.reverse(); return circuit; } let adj = [[2 3] [0] [1] [4] [0]]; let ans = printCircuit(adj); for (let v of ans) { console.log(v ' '); }
Saída
0 3 4 0 2 1 0
Complexidade de tempo: O(V + E) onde V é o número de vértices e E é o número de arestas no gráfico. A razão para isso é porque o algoritmo realiza uma pesquisa em profundidade (DFS) e visita cada vértice e cada aresta exatamente uma vez. Portanto, para cada vértice leva O(1) tempo para visitá-lo e para cada aresta leva O(1) tempo para atravessá-lo.
Complexidade do espaço : O(V + E), pois o algoritmo usa uma pilha para armazenar o caminho atual e uma lista para armazenar o circuito final. O tamanho máximo da pilha pode ser V + E na pior das hipóteses, então a complexidade do espaço é O (V + E).
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