Uma declaração de implicação pode ser representada na forma 'se...então'. O símbolo ⇒ é usado para mostrar a implicação. Suponha que existam duas afirmações, P e Q. Neste caso, a afirmação 'se P então Q' também pode ser escrita como P ⇒ Q ou P → Q, e será lida como 'P implica Q'. Nessa implicação, o enunciado P é uma hipótese, também conhecida como premissa e antecedente, e o enunciado Q é uma conclusão, também conhecida como consequente.
A implicação também desempenha um papel importante no argumento lógico. Se a implicação das afirmações for verdadeira, então sempre que a premissa for satisfeita, a conclusão também deverá ser verdadeira. Por esse motivo, a implicação também é conhecida como declaração condicional.
Alguns exemplos de implicações são descritos a seguir:
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- 'Se o tempo em GOA estiver ensolarado, então iremos para praia'.
- ‘Se o clube tiver sistema de descontos, então iremos para esse clube’.
- 'Se fizer sol enquanto vamos à praia, ficaremos bronzeados'.
A implicação lógica pode ser expressa de várias maneiras, que são descritas a seguir:
- Se p então q
- Se p,q
- q quando p
- Q somente se P
- q a menos que ~p
- q sempre que p
- p é uma condição suficiente para q
- q siga p
- p implica q
- Uma condição necessária para p é q
- q se p
- q é necessário para p
- p é uma condição necessária para q
Agora descreveremos os exemplos de todas as implicações descritas acima com a ajuda da premissa P e da conclusão Q. Para isso, assumiremos que P = Está sol e Q = Irei à praia.
P ⇒ P
- SE estiver sol ENTÃO irei para a praia
- SE estiver sol, irei à praia
- Eu irei à praia QUANDO estiver sol
- Vou à praia SÓ SE estiver sol
- Eu irei para a praia A MENOS que não esteja ensolarado
- Irei à praia SEMPRE que estiver sol
- Está sol É CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA Irei à praia
- Eu irei para a praia SIGA que está ensolarado
- Está ensolarado IMPLICA que irei à praia
- UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA que esteja sol é ir à praia
- Eu irei à praia SE estiver ensolarado
- Vou à praia É NECESSÁRIO POIS está sol
- Está sol É UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA Irei à praia
Quando há uma afirmação condicional 'se p então q', então esta afirmação P ⇒ Q será falsa quando as premissas p forem verdadeiras e a conclusão q for falsa. Em todos os outros casos, isso significa que quando p for falso ou Q for verdadeiro, a afirmação P ⇒ Q será verdadeira. Podemos representar esta afirmação com a ajuda de uma tabela verdade na qual o falso será representado por F e o verdadeiro será representado por T. A tabela verdade da afirmação 'se P então Q' é descrita a seguir:
| P | P | P ⇒q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Não é necessário que as premissas e a conclusão estejam relacionadas entre si. Com base na formulação de P e Q, a interpretação da tabela verdade depende.
Por exemplo:
- Se Jack for feito de plástico, então o Oceano é verde.
- A afirmação: Jack é feito de plástico
- A afirmação: O oceano é verde
As duas afirmações acima não fazem sentido porque Jack é um humano e nunca pode ser feito de plástico, e outra afirmação que o oceano é verde nunca acontecerá porque o oceano é sempre azul e a cor do oceano não pode ser alterada. Como podemos ver que ambas as afirmações não estão relacionadas entre si. Por outro lado, a tabela verdade para a afirmação P ⇒ Q é válida. Portanto, não é uma questão de saber se a tabela verdade está correta ou não, mas é uma questão de imaginação e interpretação.
Portanto, em P ⇒ Q, não precisamos de nenhum tipo de conexão entre a premissa e o consequente. Com base no verdadeiro valor de P e Q, o significado destes depende apenas.
Estas declarações também serão falsas mesmo se considerarmos ambas as declarações para o nosso mundo, então
False ⇒ False
Portanto, quando olhamos para a tabela verdade acima, vemos que quando P é falso e Q é falso, então P ⇒ Q é verdadeiro.
Então, se o Jack for feito de plástico, o Oceano será verde.
No entanto, a premissa p e a conclusão q estarão relacionadas e ambas as afirmações fazem sentido.
Ambiguidade
Pode haver uma ambiguidade no operador implícito. Portanto, quando usamos o operador implícito (⇒), neste momento, devemos usar parênteses.
Por exemplo: Neste exemplo, temos uma afirmação ambígua P ⇒ Q ⇒ R. Agora, temos duas afirmações ambíguas ((P ⇒ Q) ⇒ R) ou (P ⇒ (Q ⇒ R)), e temos que mostrar se essas afirmações são semelhantes ou não.
Solução: Provaremos isso com a ajuda de uma tabela verdade, que é descrita a seguir:
| P | P | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
Na tabela verdade acima, podemos ver que a tabela verdade de P ⇒ (Q ⇒ R) e (P ⇒ Q) ⇒ R não são semelhantes. Conseqüentemente, ambos gerarão produtos ou resultados diferentes.
Mais sobre Implicação
Mais alguns exemplos de implicações são descritos a seguir:
- Se estiver ensolarado, irei para a escola.
- Se eu conseguir um bom emprego, ganharei dinheiro.
- Se eu tirar boas notas, meus pais ficarão felizes.
Em todos os exemplos acima ficamos confusos porque não sabemos quando uma implicação será considerada verdadeira e quando será considerada falsa. Para resolver este problema e compreender o conceito de implicação, utilizaremos um exemplo hipotético. Neste exemplo, assumiremos que Marry jogará badminton com seu namorado Jack, e seu namorado Jack quer motivar um pouco Marry, então ele a seduz com uma declaração:
'If you win then I will buy a ring for you'
Com esta declaração, Jack quer dizer que se o casamento vencer, obviamente ele comprará um anel. Através desta declaração, Jack só se compromete quando Marry vence. Ele não cometeu nada em nenhum caso quando Mary se soltou. Portanto, ao final da partida, só podem existir quatro possibilidades, que são descritas a seguir:
- Casar vence - compre um anel.
- Casar vence - não compre anel.
- Casar perde - compre um anel.
- Casar perde - não compre anel.
Contudo, Jack não fez nenhuma declaração relacionada à regra (B). Ele também não mencionou as regras número (C) e (D) em sua declaração, então se Marry perder, então cabe a Jack comprar um anel para ela ou não. Com efeito, as afirmações (A), (C) e (D) podem acontecer como resultado da afirmação que Jack diz para casar, mas (B) não será o resultado. Se o resultado (B) ocorrer, só então Jack será pego mentindo. Em todos os outros três casos, ou seja, (A), (C) e (D), ele terá falado a verdade.
Agora usaremos a declaração mais simples para que possamos definir simbolicamente a declaração de Jack assim:
P: you win Q: I will buy a ring for you
Nesta implicação, usamos o símbolo lógico ⇒, que pode ser lido como 'implica'. Formaremos a declaração composta de Jack colocando esta seta de P para Q assim:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Concluindo, observamos que a implicação será falsa somente quando P for verdadeiro eq for falso. De acordo com esta declaração, Marry ganha o jogo, mas infelizmente Jack não compra o anel. Em todos os outros casos/resultados, a afirmação será verdadeira. Conseqüentemente, a tabela verdade para implicação é descrita a seguir:
| P | P | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
A lista de equações lógicas correspondentes para a implicação é descrita a seguir:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Exemplos de implicação:
Existem vários exemplos de implicações, e algumas delas são descritas a seguir:
Exemplo 1: Suponha que haja quatro afirmações, P, Q, R e S, onde
P: Jack está na escola
P: Jack está ensinando
R: Jack está dormindo
S: Jack está doente
Agora descreveremos algumas declarações simbólicas que estão envolvidas com essas declarações simples.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Aqui temos que mostrar a representação da interpretação destas declarações simbólicas em palavras.
Solução:
| P → R | Se Jack está na escola, então Jack está ensinando. |
| S → ~P | Se Jack estiver doente, então ele não está na escola. |
| ~Q → (S ∧ R) | Se Jack não estiver ensinando, ele estará doente e dormindo. |
| (P ∨ R) → ~Q | Se Jack está na escola ou dormindo, então ele não está ensinando. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Se Jack não está dormindo e não está doente, então ele está ensinando ou não está na escola. |
Exemplo 2: Neste exemplo, temos uma implicação P → Q. Aqui, também temos mais três afirmações compostas que estão naturalmente associadas a esta implicação que é contrapositiva, inversa e inversa da implicação. A relação entre todas essas quatro afirmações é descrita com a ajuda de uma tabela, que é descrita a seguir:
| Implicação | P → Q |
| Conversar | Q → P |
| Inverso | ~P → ~Q |
| Contrapositivo | ~Q → ~P |
Agora consideraremos um exemplo de implicação, que contém a afirmação: 'Se você estudar bem, terá boas notas'. Esta afirmação está na forma P → Q, onde
P: você estuda bem
P: você tira boas notas
Agora usaremos as declarações P e Q e mostraremos as quatro declarações associadas assim:
Implicação: Se você estudar bem, terá boas notas.
Conversar: Se você tirar boas notas, você estuda bem.
Inverso: Se você não estuda bem, não tira boas notas.
Contrapositivo: Se você não tira boas notas, você não estuda bem.
Os valores verdade de todas as declarações associadas acima são descritos com a ajuda de uma tabela verdade, que é descrita a seguir
| P | P | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
Na tabela acima, podemos ver que a implicação (P → Q) e sua contrapositiva (~Q → ~P) possuem o mesmo valor em suas colunas. Isso significa que ambos são equivalentes. Então podemos dizer que:
P → Q = ~Q → ~P
Da mesma forma, podemos ver que o inverso e o inverso têm valores semelhantes em suas colunas. Mas isto não fará diferença porque o inverso é o contrapositivo do inverso. Da mesma forma, a implicação original pode vir do contrapositivo do contrapositivo. (Isso significa que se negarmos P e Q e depois mudarmos a direção da seta, e depois disso, repetiremos novamente o processo, isso significa negar ~P e ~Q, e novamente mudarmos a direção da seta, neste caso, obteremos de volta onde começamos).