A lógica proposicional (PL) é a forma mais simples de lógica onde todas as afirmações são feitas por proposições. Uma proposição é uma afirmação declarativa que é verdadeira ou falsa. É uma técnica de representação do conhecimento de forma lógica e matemática.

Exemplo:

 a) It is Sunday. b) The Sun rises from West (False proposition) c) 3+3= 7(False proposition) d) 5 is a prime number. 

A seguir estão alguns fatos básicos sobre lógica proposicional:

• A lógica proposicional também é chamada de lógica booleana, pois funciona em 0 e 1.
• Na lógica proposicional, usamos variáveis ​​simbólicas para representar a lógica, e podemos usar qualquer símbolo para representar uma proposição, como A, B, C, P, Q, R, etc.
• As proposições podem ser verdadeiras ou falsas, mas não podem ser ambas.
• A lógica proposicional consiste em um objeto, relações ou função, e conectivos lógicos .
• Esses conectivos também são chamados de operadores lógicos.
• As proposições e conectivos são os elementos básicos da lógica proposicional.
• Os conectivos podem ser considerados operadores lógicos que conectam duas sentenças.
• Uma fórmula de proposição que é sempre verdadeira é chamada tautologia , e também é chamada de sentença válida.
• Uma fórmula de proposição que é sempre falsa é chamada Contradição .
• Uma fórmula de proposição que possui valores verdadeiros e falsos é chamada
• Declarações que são perguntas, comandos ou opiniões não são proposições como ' Onde está Rohini ',' Como vai ',' Qual o seu nome ', não são proposições.

Sintaxe da lógica proposicional:

A sintaxe da lógica proposicional define as sentenças permitidas para a representação do conhecimento. Existem dois tipos de Proposições:

Proposições Atômicas Proposições compostas

Proposta Atômica:As proposições atômicas são as proposições simples. Consiste em um único símbolo de proposição. Estas são as sentenças que devem ser verdadeiras ou falsas.

Exemplo:

 a) 2+2 is 4, it is an atomic proposition as it is a true fact. b) 'The Sun is cold' is also a proposition as it is a false fact. 

Proposição composta:As proposições compostas são construídas combinando proposições mais simples ou atômicas, usando parênteses e conectivos lógicos.

Exemplo:

 a) 'It is raining today, and street is wet.' b) 'Ankit is a doctor, and his clinic is in Mumbai.' 

Conectivos Lógicos:

Conectivos lógicos são usados ​​para conectar duas proposições mais simples ou representar uma frase logicamente. Podemos criar proposições compostas com a ajuda de conectivos lógicos. Existem principalmente cinco conectivos, que são dados a seguir:

Negação:Uma sentença como ¬ P é chamada de negação de P. Um literal pode ser literal positivo ou literal negativo.Conjunção:Uma frase que tem ∧ conectivo como, P ∧ Q é chamada de conjunção.
Exemplo: Rohan é inteligente e trabalhador. Pode ser escrito como,
P = Rohan é inteligente ,
P= Rohan é trabalhador. →P∧Q .Disjunção:Uma frase que tem ∨ conectivo, como P∨Q . é chamado de disjunção, onde P e Q são as proposições.
Exemplo: 'Ritika é médica ou engenheira' ,
Aqui P = Ritika é doutora. Q = Ritika é doutora, então podemos escrevê-lo como P∨Q .Implicação:Uma sentença como P → Q é chamada de implicação. As implicações também são conhecidas como regras se-então. Pode ser representado como
Se está chovendo, então a rua está molhada.
Seja P = Está chovendo e Q = A rua está molhada, então é representado como P → QBicondicional:Uma frase como P⇔ Q é uma frase bicondicional, exemplo Se estou respirando, então estou vivo
P= estou respirando, Q= estou vivo, pode ser representado como P ⇔ Q.

A seguir está a tabela resumida para Conectivos Lógicos Proposicionais:

Tabela Verdade:

Na lógica proposicional, precisamos conhecer os valores verdade das proposições em todos os cenários possíveis. Podemos combinar todas as combinações possíveis com conectivos lógicos, e a representação dessas combinações em formato tabular é chamada Tabela verdade . A seguir estão a tabela verdade para todos os conectivos lógicos:

Tabela verdade com três proposições:

Podemos construir uma proposição composta por três proposições P, Q e R. Esta tabela verdade é composta de 8n tuplas, pois pegamos três símbolos de proposições.

Precedência de conectivos:

Assim como os operadores aritméticos, existe uma ordem de precedência para conectores proposicionais ou operadores lógicos. Esta ordem deve ser seguida ao avaliar um problema proposicional. A seguir está a lista da ordem de precedência para operadores:

Nota: Para melhor compreensão use parênteses para ter certeza das interpretações corretas. Tal como ¬R∨ Q, pode ser interpretado como (¬R) ∨ Q.

Equivalência lógica:

A equivalência lógica é uma das características da lógica proposicional. Duas proposições são consideradas logicamente equivalentes se, e somente se, as colunas da tabela verdade forem idênticas entre si.

Vamos pegar duas proposições A e B, então para equivalência lógica, podemos escrevê-la como A⇔B. Na tabela verdade abaixo, podemos ver que as colunas para ¬A∨ B e A→B são idênticas, portanto, A é equivalente a B

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Propriedades dos Operadores:

Comutatividade:
• P∧ Q= Q ∧ P, ou
• P ∨ Q = Q ∨ P.
Associatividade:
• (P ∧ Q) ∧ R= P ∧ (Q ∧ R),
• (P ∨ Q) ∨ R= P ∨ (Q ∨ R)
Elemento de identidade:
• P ∧ Verdadeiro = P,
• P ∨ Verdadeiro= Verdadeiro.
Distributivo:
• P∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R).
• P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Lei de Morgan:
• 2 > 4 8 2 > 4 8 2 > 4 5 =
• ¬ ( P ∨ Q ) = ( ¬ P ) ∧ ( ¬ Q ).
Eliminação de dupla negação:
• ¬ (¬P) = P.

Limitações da lógica proposicional:

• Não podemos representar relações como TODOS, alguns ou nenhum com lógica proposicional. Exemplo:
  Todas as meninas são inteligentes.
Algumas maçãs são doces.
• A lógica proposicional tem poder expressivo limitado.
• Na lógica proposicional, não podemos descrever afirmações em termos de suas propriedades ou relacionamentos lógicos.