Uma função recursiva é uma função cujo valor em qualquer ponto pode ser calculado a partir dos valores da função em alguns pontos anteriores. Por exemplo, suponha uma função f(k) = f(k-2) + f(k-3) que é definida sobre um número inteiro não negativo. Se tivermos o valor da função em k = 0 e k = 2, também podemos encontrar seu valor em qualquer outro número inteiro não negativo. Em outras palavras, podemos dizer que uma função recursiva se refere a uma função que utiliza seus próprios pontos anteriores para determinar os termos subsequentes e, assim, formar uma sequência de termos. Neste artigo, aprenderemos sobre funções recursivas junto com alguns exemplos.
O que é recursão?
A recursão se refere a um processo no qual um processo recursivo se repete. Recursiva é um tipo de função de uma e mais variáveis, geralmente especificada por um determinado processo que produz valores dessa função implementando continuamente uma relação particular com valores conhecidos da função.
Aqui entenderemos a recursão com a ajuda de um exemplo.
Suponha que você vá subir uma escada do térreo para chegar ao primeiro andar. Então, para fazer isso, você tem que dar passos um por um. Só há um caminho para chegar ao segundo degrau, que é o primeiro degrau profundo. Suponha que você queira ir para a terceira etapa; você precisa dar o segundo passo primeiro. Aqui você pode ver claramente o processo de repetição. Aqui, você pode ver que a cada passo seguinte, você está adicionando o passo anterior como uma sequência repetida com a mesma diferença entre cada passo. Este é o conceito real por trás da função recursiva.
Passo 2: Etapa 1 + etapa mais baixa.
Etapa 3: Etapa 2 + Etapa 1 + etapa mais baixa.
Passo 4: Etapa 3 + etapa 2 + etapa 1 + etapa mais baixa e assim por diante.
Um conjunto de números naturais é o exemplo básico das funções recursivas que começam de um até o infinito, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,….infinitivo. Portanto, o conjunto dos números naturais mostra uma função recursiva porque você pode ver uma diferença comum entre cada termo como 1; mostra cada vez que o próximo termo se repete pelo termo anterior.
O que é uma função definida recursivamente?
As funções definidas recursivamente são compostas por duas partes. A primeira parte trata da definição do menor argumento e, por outro lado, a segunda parte trata da definição do enésimo termo. O menor argumento é denotado por f (0) ou f (1), enquanto o enésimo argumento é denotado por f (n).
Siga o exemplo dado.
Suponha que uma sequência seja 4,6,8,10
A fórmula explícita para a sequência acima é f (n)= 2n + 2
A fórmula explícita para a sequência acima é dada por
f (0) = 2
pivô do panda
f(n) = f(n-1) + 2
Agora, podemos obter os termos da sequência aplicando a fórmula recursiva como segue f(2 ) f (1) + 2
f(2) = 6
f (0) = 2
f(1) = f(0) + 2
f (1) = 2 + 2 = 4
f(2 ) = f(1) + 2
f(2) = 4 + 2 = 6
f(3 ) = f(2) + 2
f(3) = 6 + 2 = 8
Com a ajuda da fórmula da função recursiva acima, podemos determinar o próximo termo.
O que torna a função recursiva?
Tornar qualquer função recursiva precisa de seu próprio termo para calcular o próximo termo na sequência. Por exemplo, se você deseja calcular o enésimo termo de uma determinada sequência, primeiro você precisa saber o termo anterior e o termo anterior ao termo anterior. Portanto, você precisa conhecer o termo anterior para descobrir se a sequência é recursiva ou não recursiva. Portanto podemos concluir que se a função necessita do termo anterior para determinar o próximo termo na sequência, a função é considerada uma função recursiva.
A fórmula da função recursiva
Se um1, a2, a3, a4, a5, a6, ……..an,…… são muitos conjuntos ou uma sequência, então uma fórmula recursiva precisará calcular todos os termos que existiam anteriormente para calcular o valor de um
an= umn-1 +a1
A fórmula acima também pode ser definida como Fórmula Recursiva de Sequência Aritmética. Você pode ver claramente na sequência mencionada acima que se trata de uma sequência aritmética, que compreende o primeiro termo seguido dos demais termos e uma diferença comum entre cada termo. A diferença comum refere-se a um número que você adiciona ou subtrai a eles.
Uma função recursiva também pode ser definida como uma sequência geométrica, onde os conjuntos de números ou uma sequência possuem um fator comum ou razão comum entre eles. A fórmula para a sequência geométrica é dada como
an= umn-1 *R
Normalmente, a função recursiva é definida em duas partes. O primeiro é o enunciado do primeiro termo junto com a fórmula, e outro é o enunciado do primeiro termo junto com a regra relativa aos termos sucessivos.
Como escrever uma fórmula recursiva para sequência aritmética
Para escrever a fórmula recursiva para a fórmula de sequência aritmética, siga as etapas fornecidas
Passo 1:
Na primeira etapa, você precisa garantir se a sequência dada é aritmética ou não (para isso, você precisa adicionar ou subtrair dois termos sucessivos). Se você obtiver a mesma saída, a sequência será considerada uma sequência aritmética.
Passo 2:
Agora, você precisa encontrar a diferença comum para a sequência fornecida.
Etapa 3:
Formule a fórmula recursiva usando o primeiro termo e depois crie a fórmula usando o termo anterior e a diferença comum; assim você obterá o resultado fornecido
an= umn-1 +d
agora, entendemos a fórmula dada com a ajuda de um exemplo
suponha que 3,5,7,9,11 seja uma determinada sequência
No exemplo acima, você pode facilmente descobrir que é a sequência aritmética porque cada termo na sequência aumenta em 2. Portanto, a diferença comum entre dois termos é 2. Conhecemos a fórmula da sequência recursiva
an= umn-1 +d
Dado,
d = 2
a1= 3
então,
a2= um(2-1)+ 2 = uma1+2 = 3+2 = 5
a3= um(3-1)+ 2 = uma2+2 = 5+2 = 7
chave primária composta
a4= um(4-1)+ 2 = uma3+2 = 7+2 = 9
a5= um(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11, e o processo continua.
Como escrever uma fórmula recursiva para sequência geométrica?
Para escrever a fórmula recursiva para a fórmula de sequência geométrica, siga as etapas fornecidas:
Passo 1
Na primeira etapa, é necessário garantir se a sequência dada é geométrica ou não (para isso, é necessário multiplicar ou dividir cada termo por um número). Se você obtiver a mesma saída de um termo para o próximo, a sequência será considerada uma sequência geométrica.
Passo 2
Agora, você precisa encontrar a razão comum para a sequência dada.
etapa 3
Formule a fórmula recursiva usando o primeiro termo e depois crie a fórmula usando o termo anterior e a razão comum; assim você obterá o resultado fornecido
an= r*an-1
Agora, entendemos a fórmula dada com a ajuda de um exemplo
suponha que 2,8,32, 128,.é uma determinada sequência
No exemplo acima, você pode descobrir facilmente que é a sequência geométrica porque o termo sucessivo na sequência é obtido multiplicando 4 pelo termo anterior. Portanto, a razão comum entre dois termos é 4. Conhecemos a fórmula da sequência recursiva
an= r*an-1
an= 4
an-1= ?
Dado,
r = 4
a1= 2
então,
a2= um(2-1)* 4 = uma1+ * 4 = 2 * 4 = 8
a3= um(3-1)* 4 = uma2* 4 = 8 * 4 = 32
a4= um(4-1)* 4 = uma3* 4 = 32* 4 = 128 e o processo continua.
Exemplo de função recursiva
Exemplo 1:
Determine a fórmula recursiva para a sequência 4,8,16,32,64, 128,….?
Solução:
Dada a sequência 4,8,16,32,64,128,…..
A sequência dada é geométrica porque se multiplicarmos o termo anterior, obteremos os termos sucessivos.
Para determinar a fórmula recursiva para a sequência dada, precisamos escrevê-la na forma tabular
| Números de mandato | Termo de sequência | Notação de Função | Notação de Subscrito |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | f(1) | a1 |
| 2 | 8 | f(2) | a2 |
| 3 | 16 | f(3) | a3 |
| 4 | 32 | f(4) | a4 |
| 5 | 64 | f(5) | a5 |
| 6 | 128 | f(6) | a6 |
| n | . | f(n) | an |
Portanto, a fórmula recursiva na noção de função é dada por
f(1) = 4, f(n) . f(n-1)
Na notação subscrita, a fórmula recursiva é dada por
a1= 4, uman= 2. uman-1