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Depois de ter aprendido a fórmula quadrática e os fundamentos das equações quadráticas, é hora de passar para o próximo nível de seu relacionamento com as parábolas: aprender sobre suas forma de vértice .

Continue lendo para aprender mais sobre a forma de vértice da parábola e como converter uma equação quadrática da forma padrão para a forma de vértice.

crédito da imagem principal: SBA73 /Flickr

Por que o formulário Vertex é útil? Uma visão geral

O forma de vértice de uma equação é uma maneira alternativa de escrever a equação de uma parábola.

Normalmente, você verá uma equação quadrática escrita como $ax^2+bx+c$, que, quando representada graficamente, será uma parábola. A partir desta forma, é fácil encontrar as raízes da equação (onde a parábola atinge o eixo $x$) definindo a equação igual a zero (ou usando a fórmula quadrática).

Se você precisar encontrar o vértice de uma parábola, entretanto, a forma quadrática padrão será muito menos útil. Em vez disso, você desejará converter sua equação quadrática em forma de vértice.

O que é o formulário vértice?

Embora a forma quadrática padrão seja $ax^2+bx+c=y$, a forma de vértice de uma equação quadrática é $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

Em ambas as formas, $y$ é a coordenada $y$, $x$ é a coordenada $x$ e $a$ é a constante que informa se a parábola está voltada para cima ($+a$) ou para baixo ($-a$). (Penso nisso como se a parábola fosse uma tigela de compota de maçã; se houver um $+a$, posso adicionar compota de maçã à tigela; se houver um $-a$, posso sacudir a compota de maçã para fora da tigela.)

A diferença entre a forma padrão de uma parábola e a forma de vértice é que a forma de vértice da equação também fornece o vértice da parábola: $(h,k)$.

Por exemplo, dê uma olhada nesta bela parábola, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Com base no gráfico, o vértice da parábola parece ser algo como (-1,5,-2), mas é difícil dizer exatamente onde está o vértice apenas pelo gráfico. Felizmente, com base na equação $y=3(x+4/3)^2-2$, sabemos que o vértice desta parábola é $(-4/3,-2)$.

Por que o vértice $(-4/3,-2)$ e não $(4/3,-2)$ (além do gráfico, o que deixa claro as coordenadas $x$- e $y$ de o vértice é negativo)?

Lembrar: na equação da forma de vértice, $h$ é subtraído e $k$ é adicionado . Se você tiver um $h$ negativo ou um $k$ negativo, você precisará subtrair o $h$ negativo e adicionar o $k$ negativo.

Neste caso, isso significa:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

e então o vértice é $(-4/3,-2)$.

Você deve sempre verificar seus sinais positivos e negativos ao escrever uma parábola na forma de vértice , especialmente se o vértice não tiver valores positivos de $x$ e $y$ (ou para vocês, cabeças de quadrante por aí, se não estiver em quadrante I ). Isso é semelhante à verificação que você faria se estivesse resolvendo a fórmula quadrática ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) e precisasse ter certeza de que manteve seu valor positivo e negativos diretamente para $a$s, $b$s e $c$s.

Abaixo está uma tabela com mais exemplos de algumas outras equações em forma de vértice de parábola, junto com seus vértices. Observe em particular a diferença na parte $(x-h)^2$ da equação da forma do vértice da parábola quando a coordenada $x$ do vértice é negativa.

Como converter do formato quadrático padrão para o formato vértice

Na maioria das vezes, quando você é solicitado a converter equações quadráticas entre diferentes formas, você passará da forma padrão ($ax^2+bx+c$) para a forma de vértice ($a(x-h)^2+k$ ).

O processo de conversão de sua equação da forma quadrática padrão para a forma de vértice envolve executar um conjunto de etapas chamado completar o quadrado. (Para saber mais sobre como completar o quadrado, leia este artigo.)

Vejamos um exemplo de conversão de uma equação da forma padrão para a forma de vértice. Começaremos com a equação $y=7x^2+42x-3/14$.

A primeira coisa que você deseja fazer é mover a constante ou o termo sem $x$ ou $x^2$ próximo a ele. Neste caso, nossa constante é $-3/14$. (Sabemos que é negativo $3/14$ porque a equação quadrática padrão é $ax^2+bx+c$, não $ax^2+bx-c$.)

Primeiro, pegaremos $-3/14$ e o moveremos para o lado esquerdo da equação:

$y+3/14=7x^2+42x$

O próximo passo é fatorar o 7 (o valor $a$ na equação) do lado direito, assim:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Ótimo! Esta equação se parece muito mais com a forma de vértice, $y=a(x-h)^2+k$.

Neste ponto, você pode estar pensando: 'Tudo o que preciso fazer agora é mover $3/14$ de volta para o lado direito da equação, certo?' Infelizmente, não tão rápido.

Se você observar parte da equação entre parênteses, notará um problema: ela não está na forma de $(x-h)^2$. Existem muitos $x$s! Então ainda não terminamos.

O que precisamos fazer agora é a parte mais difícil: completar o quadrado.

Vamos dar uma olhada mais de perto na parte $x^2+6x$ da equação. Para fatorar $(x^2+6x)$ em algo parecido com $(x-h)^2$, precisaremos adicionar uma constante dentro dos parênteses - e precisaremos lembrar para adicionar essa constante também ao outro lado da equação (já que a equação precisa permanecer equilibrada).

Para configurar isso (e não esquecer de adicionar a constante ao outro lado da equação), vamos criar um espaço em branco onde a constante ficará em ambos os lados da equação:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Observe que no lado esquerdo da equação, incluímos nosso valor $a$, 7, na frente do espaço onde nossa constante irá; isso ocorre porque não estamos apenas adicionando a constante ao lado direito da equação, mas estamos multiplicando a constante por tudo o que está fora dos parênteses. (Se o seu valor $a$ for 1, você não precisa se preocupar com isso.)

O próximo passo é completar o quadrado. Nesse caso, o quadrado que você está completando é a equação entre parênteses – ao adicionar uma constante, você a transforma em uma equação que pode ser escrita como um quadrado.

Para calcular essa nova constante, pegue o valor próximo a $x$ (6, neste caso), divida por 2 e eleve ao quadrado.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. A constante é 9.

A razão pela qual dividimos 6 pela metade e elevamos ao quadrado é que sabemos que em uma equação na forma $(x+p)(x+p)$ (que é o que estamos tentando chegar), $px+px= 6x$, então $p=6/2$; para obter a constante $p^2$, temos que pegar $6/2$ (nosso $p$) e elevá-la ao quadrado.

Agora, substitua o espaço em branco em cada lado da nossa equação pela constante 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

A seguir, fatore a equação entre parênteses. Como completamos o quadrado, você poderá fatorá-lo como $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Última etapa: mova o valor diferente de $y$ do lado esquerdo da equação de volta para o lado direito:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Parabéns! Você converteu com sucesso sua equação da forma quadrática padrão para a forma de vértice.

Agora, a maioria dos problemas não pedirá apenas que você converta suas equações da forma padrão para a forma de vértice; eles vão querer que você forneça as coordenadas do vértice da parábola.

Para evitar ser enganado por mudanças de sinal, vamos escrever a equação geral da forma do vértice diretamente acima da equação da forma do vértice que acabamos de calcular:

$y=a(xh)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

E então podemos facilmente encontrar $h$ e $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

O vértice desta parábola está nas coordenadas $(-3,-{885/14})$.

Uau, foram muitos números embaralhados! Felizmente, converter equações na outra direção (do vértice para a forma padrão) é muito mais simples.

Como converter do formulário Vertex para o formulário padrão

Converter equações da forma de vértice para a forma quadrática regular é um processo muito mais direto: tudo o que você precisa fazer é multiplicar a forma de vértice.

Vamos pegar nossa equação de exemplo anterior, $y=3(x+4/3)^2-2$. Para transformar isso na forma padrão, apenas expandimos o lado direito da equação:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Você converteu com sucesso $y=3(x+4/3)^2-2$ para seu formato $ax^2+bx+c$.

Prática da forma de vértice da parábola: exemplos de perguntas

Para encerrar esta exploração da forma de vértice, temos quatro exemplos de problemas e explicações. Veja se você consegue resolver os problemas sozinho antes de ler as explicações!

#1: Qual é a forma do vértice da equação quadrática $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Converta a equação $7y=91x^2-112$ na forma de vértice. Qual é o vértice?

#3: Dada a equação $y=2(x-3/2)^2-9$, quais são as coordenadas $x$ de onde esta equação cruza com o eixo $x$?

#4: Encontre o vértice da parábola $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Prática da forma de vértice da parábola: soluções

#1: Qual é a forma do vértice da equação quadrática ${i x^2}+ 2,6i x+1,2$?

Comece separando a variável não-$x$ no outro lado da equação:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Como nosso $a$ (como em $ax^2+bx+c$) na equação original é igual a 1, não precisamos fatorá-lo do lado direito aqui (embora se você quiser, você pode escrever $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Em seguida, divida o coeficiente $x$ (2,6) por 2 e eleve-o ao quadrado, depois adicione o número resultante a ambos os lados da equação:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Fatore o lado direito da equação entre parênteses:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Finalmente, combine as constantes do lado esquerdo da equação e mova-as para o lado direito.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Nossa resposta é $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Converta a equação $7i y=91i x^2-112$ na forma de vértice. Qual é o vértice?

Ao converter uma equação em forma de vértice, você deseja que $y$ tenha um coeficiente de 1, então a primeira coisa que faremos é dividir ambos os lados desta equação por 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Em seguida, traga a constante para o lado esquerdo da equação:

$y+16=13x^2$

Fatore o coeficiente do número $x^2$ (o $a$) do lado direito da equação

$y+16=13(x^2)$

Agora, normalmente você teria que completar o quadrado do lado direito da equação entre parênteses. No entanto, $x^2$ já é um quadrado, então você não precisa fazer nada além de mover a constante do lado esquerdo da equação de volta para o lado direito:

$y=13(x^2)-16$.

Agora, para encontrar o vértice:

$y=a(xh)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, então $h=0$

$+k=-16$, então $k=-16$

O vértice da parábola está em $(0, -16)$.

#3: Dada a equação $i y=2(i x-3/2)^2-9$, quais são as coordenadas $i x$ de onde esta equação cruza com o $i x$-eixo?

Como a questão pede que você encontre a(s) interceptação(ões) $x$ da equação, o primeiro passo é definir $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Agora, existem algumas maneiras de partir daqui. A maneira sorrateira é usar o fato de que já existe um quadrado escrito na equação da forma de vértice a nosso favor.

Primeiro, moveremos a constante para o lado esquerdo da equação:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

A seguir, dividiremos ambos os lados da equação por 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Agora, a parte sorrateira. Tire a raiz quadrada de ambos os lados da equação:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±