Agudo, obtuso, isósceles, equilátero… Quando se trata de triângulos, existem muitas variedades diferentes, mas apenas algumas que são 'especiais'. Esses triângulos especiais têm lados e ângulos consistentes e previsíveis e podem ser usados para abrir caminho em problemas de geometria ou trigonometria. E um triângulo 30-60-90 – pronunciado “trinta e sessenta e noventa” – é, de fato, um tipo muito especial de triângulo.
Neste guia, explicaremos o que é um triângulo 30-60-90, por que funciona e quando (e como) usar seu conhecimento sobre ele. Então vamos fazer isso!
O que é um triângulo 30-60-90?
Um triângulo 30-60-90 é um triângulo retângulo especial (um triângulo retângulo é qualquer triângulo que contém um ângulo de 90 graus) que sempre tem ângulos de 30 graus, 60 graus e 90 graus. Por ser um triângulo especial, ele também possui valores de comprimento lateral que estão sempre em uma relação consistente entre si.
A proporção básica do triângulo 30-60-90 é:
Lado oposto ao ângulo de 30°: $x$
Lado oposto ao ângulo de 60°: $x * √3$
Lado oposto ao ângulo de 90°: x$
Por exemplo, um triângulo de 30-60-90 graus pode ter comprimentos laterais de:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
instrução if-else java
(Por que a perna mais longa é 3? Neste triângulo, a perna mais curta ($x$) é $√3$, então para a perna mais longa, $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. E a hipotenusa é 2 vezes a perna mais curta, ou √3$)
E assim por diante.
O lado oposto ao ângulo de 30° é sempre o menor , porque 30 graus é o menor ângulo. O lado oposto ao ângulo de 60° será o comprimento médio , porque 60 graus é o ângulo de grau médio neste triângulo. E, finalmente, o lado oposto ao ângulo de 90° será sempre o maior lado (a hipotenusa) porque 90 graus é o maior ângulo.
Embora possa parecer semelhante a outros tipos de triângulos retângulos, a razão pela qual um triângulo 30-60-90 é tão especial é que você só precisa de três informações para encontrar todas as outras medidas. Contanto que você saiba o valor de duas medidas de ângulos e o comprimento de um lado (não importa qual lado), você sabe tudo o que precisa saber sobre seu triângulo.
Por exemplo, podemos usar a fórmula do triângulo 30-60-90 para preencher todos os espaços em branco de informações restantes dos triângulos abaixo.
Exemplo 1
Podemos ver que este é um triângulo retângulo em que a hipotenusa tem o dobro do comprimento de um dos catetos. Isso significa que este deve ser um triângulo 30-60-90 e o lado menor determinado é oposto a 30°.
A perna mais longa deve, portanto, estar oposta ao ângulo de 60° e medir * √3$, ou √3$.
Exemplo 2
falha de segmentação (despejo de núcleo
Podemos ver que este deve ser um triângulo 30-60-90 porque podemos ver que este é um triângulo retângulo com uma determinada medida, 30°. O ângulo não marcado deve então ser de 60°.
Como 18 é a medida oposta ao ângulo de 60°, deve ser igual a $x√3$. A perna mais curta deve então medir /√3$.
(Observe que o comprimento da perna será na verdade /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ porque um denominador não pode conter um radical/raiz quadrada).
E a hipotenusa será (18/√3)$
(Observe que, novamente, você não pode ter um radical no denominador, então a resposta final será realmente 2 vezes o comprimento da perna de √3$ => √3$).
Exemplo 3
Novamente, temos duas medidas de ângulo (90° e 60°), então a terceira medida será 30°. Como este é um triângulo 30-60-90 e a hipotenusa é 30, o cateto mais curto será igual a 15 e o cateto mais longo será igual a 15√3.
Não há necessidade de consultar a bola oito mágica – essas regras sempre funcionam.
Por que funciona: prova do teorema do triângulo 30-60-90
Mas por que esse triângulo especial funciona dessa maneira? Como sabemos que essas regras são legítimas? Vamos ver exatamente como funciona o teorema do triângulo 30-60-90 e provar por que esses comprimentos laterais serão sempre consistentes.
Primeiro, vamos esquecer os triângulos retângulos por um segundo e olhar para um Triângulo Equilátero.
Um triângulo equilátero é um triângulo que tem todos os lados iguais e todos os ângulos iguais. Como os ângulos internos de um triângulo sempre somam 180° e 0/3 = 60$, um triângulo equilátero sempre terá três ângulos de 60°.
Agora vamos descer uma altura do ângulo superior até a base do triângulo.
Nós temos agora criou dois ângulos retos e dois triângulos congruentes (iguais).
Como sabemos que são triângulos iguais? Porque caímos de uma altura equilátero triângulo, dividimos a base exatamente ao meio. Os novos triângulos também compartilham o comprimento de um lado (a altura) e cada um deles tem o mesmo comprimento da hipotenusa. Como eles compartilham três comprimentos laterais em comum (SSS), isso significa os triângulos são congruentes.
Nota: os dois triângulos não são apenas congruentes com base nos princípios dos comprimentos lado-lado-lado, ou SSS, mas também com base nas medidas lado-ângulo-lado (SAS), ângulo-ângulo-lado (AAS) e ângulo- ângulo lateral (ASA). Basicamente? Eles são definitivamente congruentes.
Agora que provamos as congruências dos dois novos triângulos, podemos ver que os ângulos superiores devem ser iguais a 30 graus (porque cada triângulo já tem ângulos de 90° e 60° e deve somar 180°). Isso significa fizemos dois triângulos 30-60-90.
E como sabemos que cortamos a base do triângulo equilátero ao meio, podemos ver que o lado oposto ao ângulo de 30° (o lado mais curto) de cada um dos nossos triângulos 30-60-90 tem exatamente metade do comprimento da hipotenusa. .
Então, vamos chamar nosso comprimento lateral original de $x$ e nosso comprimento bissectado de $x/2$.
Agora tudo o que nos resta fazer é determinar o comprimento médio do lado que os dois triângulos partilham. Para fazer isso, podemos simplesmente usar o teorema de Pitágoras.
thread.destroy
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Então ficamos com: $x/2, {x√3}/2, x$
Agora vamos multiplicar cada medida por 2, só para facilitar a vida e evitar todas as frações. Dessa forma, ficamos com:
$x$, $x√3$, x$
Podemos ver, portanto, que um triângulo 30-60-90 será sempre têm comprimentos laterais consistentes de $x$, $x√3$ e x$ (ou $x/2$, ${√3x}/2$ e $x$).
Felizmente para nós, podemos provar que as regras do triângulo 30-60-90 são verdadeiras sem tudo isso.
Quando usar regras do triângulo 30-60-90
Conhecer as regras do triângulo 30-60-90 poderá economizar tempo e energia em uma infinidade de problemas matemáticos diferentes, nomeadamente uma grande variedade de problemas de geometria e trigonometria.
Geometria
A compreensão adequada dos triângulos 30-60-90 permitirá que você resolva questões de geometria que seriam impossíveis de resolver sem conhecer essas regras de proporção ou, pelo menos, levariam tempo e esforço consideráveis para resolver o 'caminho longo'.
Com as proporções especiais de triângulos, você pode descobrir as alturas ou comprimentos das pernas dos triângulos que faltam (sem ter que usar o teorema de Pitágoras), encontrar a área de um triângulo usando informações faltantes de altura ou comprimento da base e calcular rapidamente os perímetros.
Sempre que você precisar de rapidez para responder a uma pergunta, lembrar de atalhos como as regras 30-60-90 será útil.
SQL de ordem aleatória
Trigonometria
Memorizar e compreender a proporção do triângulo 30-60-90 também permitirá que você resolva muitos problemas de trigonometria sem a necessidade de uma calculadora ou de aproximar suas respostas na forma decimal.
Um triângulo 30-60-90 tem senos, cossenos e tangentes bastante simples para cada ângulo (e essas medidas sempre serão consistentes).
O seno de 30° será sempre /2$.
O cosseno de 60° será sempre /2$.
Embora os outros senos, cossenos e tangentes sejam bastante simples, esses são os dois mais fáceis de memorizar e provavelmente aparecerão nos testes. Portanto, conhecer essas regras permitirá que você encontre essas medidas trigonométricas o mais rápido possível.
Dicas para lembrar as regras 30-60-90
Você sabe que essas regras de proporção 30-60-90 são úteis, mas como manter as informações em sua cabeça? Lembrar as regras do triângulo 30-60-90 é uma questão de lembrar a proporção de 1: √3: 2, e saber que o menor comprimento do lado é sempre oposto ao menor ângulo (30°) e o maior comprimento do lado é sempre oposto ao maior ângulo (90°).
Algumas pessoas memorizam a proporção pensando: ' $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' porque a sucessão '1, 2, 3' normalmente é fácil de lembrar. A única precaução ao usar esta técnica é lembrar que o lado mais longo é na verdade x$, não o $x$ vezes $√3$.
Outra maneira de lembrar suas proporções é use um jogo de palavras mnemônico na proporção 1: raiz 3: 2 em sua ordem correta. Por exemplo, 'Jackie Mitchell eliminou Lou Gehrig e' ganhou Ruthy também '': um, raiz de três, dois. (E é um verdadeiro fato da história do beisebol!)
Brinque com seus próprios dispositivos mnemônicos se eles não lhe agradarem - cante a proporção de uma música, encontre suas próprias frases 'um, raiz de três, dois' ou crie um poema de proporção. Você pode até lembrar que um triângulo 30-60-90 é meio equilátero e descobrir as medidas a partir daí, se não gostar de memorizá-las.
No entanto, faz sentido para você lembrar essas regras 30-60-90, manter essas proporções em mente para suas futuras questões de geometria e trigonometria.
A memorização é sua amiga, mas você pode fazer isso acontecer.
Exemplo 30-60-90 Perguntas
Agora que vimos os comos e porquês dos triângulos 30-60-90, vamos resolver alguns problemas práticos.
menu suspenso javascript
Geometria
Um trabalhador da construção civil inclina uma escada de 12 metros contra a lateral de um prédio, em um ângulo de 30 graus em relação ao solo. O terreno é nivelado e a lateral do edifício é perpendicular ao solo. A que altura do edifício a escada alcança, até o pé mais próximo?
Sem conhecer as nossas regras especiais de triângulos 30-60-90, teríamos que utilizar trigonometria e uma calculadora para encontrar a solução para este problema, uma vez que só temos a medida de um lado de um triângulo. Mas porque sabemos que este é um especial triângulo, podemos encontrar a resposta em apenas alguns segundos.
Se o edifício e o solo forem perpendiculares um ao outro, isso deve significar que o edifício e o solo formam um ângulo reto (90°). Também é certo que a escada encontra o solo em um ângulo de 30°. Podemos, portanto, ver que o ângulo restante deve ser 60°, o que torna este um triângulo 30-60-90.
Agora sabemos que a hipotenusa (lado mais longo) deste 30-60-90 tem 40 pés, o que significa que o lado mais curto terá metade desse comprimento. (Lembre-se de que o lado mais longo é sempre duas vezes – x$ – tão longo quanto o lado mais curto.) Como o lado mais curto é oposto ao ângulo de 30°, e esse ângulo é a medida em graus da escada a partir do solo, isso significa que o topo da escada atinge o prédio a 20 pés do chão.
Nossa resposta final é 20 pés.
Trigonometria
Se, em um triângulo retângulo, sen Θ = /2$ e o comprimento da perna mais curta for 8. Qual é o comprimento do lado faltante que NÃO é a hipotenusa?
Como você conhece as regras 30-60-90, pode resolver esse problema sem a necessidade do teorema de Pitágoras ou de uma calculadora.
Disseram-nos que este é um triângulo retângulo e sabemos, pelas nossas regras especiais para triângulos retângulos, que seno 30° = /2$. O ângulo que falta deve, portanto, ser de 60 graus, o que torna este triângulo 30-60-90.
E como este é um triângulo 30-60-90, e nos disseram que o lado mais curto é 8, a hipotenusa deve ser 16 e o lado que falta deve ser * √3$, ou √3$.
Nossa resposta final é 8√3.
As conclusões
Lembrando o regras para triângulos 30-60-90 ajudarão você a resolver uma variedade de problemas matemáticos . Mas tenha em mente que, embora conhecer essas regras seja uma ferramenta útil para manter em mente, você ainda pode resolver a maioria dos problemas sem elas.
Acompanhe as regras de $x$, $x√3$, x$ e 30-60-90 da maneira que fizer sentido para você e tente mantê-las corretas se puder, mas não entre em pânico se sua mente apaga quando chega a hora da crise. De qualquer maneira, você consegue.
E, se precisar de mais prática, vá em frente e dê uma olhada nisso Teste do triângulo 30-60-90 . Feliz teste!