Também podemos chamar a teoria do aperto de mão como teorema da soma dos graus ou Lema do aperto de mão. A teoria do aperto de mão afirma que a soma dos graus de todos os vértices de um gráfico será o dobro do número de arestas contidas nesse gráfico. A representação simbólica da teoria do aperto de mão é descrita a seguir:

java contém substring

Aqui,

'd' é usado para indicar o grau do vértice.

'v' é usado para indicar o vértice.

'e' é usado para indicar as bordas.

Teorema do aperto de mão:

Existem algumas conclusões no teorema do aperto de mão, que devem ser tiradas, que são descritas a seguir:

Em qualquer gráfico:

• Deve haver números pares para a soma dos graus de todos os vértices.
• Se houver graus ímpares para todos os vértices, então a soma dos graus desses vértices deve sempre permanecer par.
• Se houver alguns vértices com grau ímpar, o número desses vértices será par.

Exemplos de teoria do aperto de mão

Existem vários exemplos de teoria do aperto de mão, e alguns dos exemplos são descritos a seguir:

Exemplo 1: Aqui, temos um gráfico que tem o grau de cada vértice como 4 e 24 arestas. Agora vamos descobrir o número de vértices neste gráfico.

Solução: Com a ajuda do gráfico acima, obtivemos os seguintes detalhes:

Grau de cada vértice = 24

Número de arestas = 24

Agora vamos assumir o número de vértices = n

Com a ajuda do teorema do aperto de mão, temos o seguinte:

Soma de um grau de todos os vértices = 2 * Número de arestas

Agora colocaremos os valores fornecidos na fórmula de handshake acima:

n*4 = 2*24

n = 2*6

n = 12

Assim, no gráfico G, o número de vértices = 12.

Exemplo 2: Aqui, temos um gráfico que possui 21 arestas, 3 vértices de grau 4 e todos os outros vértices de grau 2. Agora descobriremos o número total de vértices neste gráfico.

Solução: Com a ajuda do gráfico acima, obtivemos os seguintes detalhes:

Número de vértices de grau 4 = 3

Número de arestas = 21

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Todos os outros vértices têm grau 2

Agora vamos assumir o número de vértices = n

Com a ajuda do teorema do aperto de mão, temos o seguinte:

Soma do grau de todos os vértices = 2 * Número de arestas

Agora colocaremos os valores fornecidos na fórmula de handshake acima:

3*4 + (n-3) * 2 = 2*21

12+2n-6 = 42

2n = 42 - 6

2n=36

n = 18

Assim, no gráfico G, o número total de vértices = 18.

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Exemplo 3: Aqui, temos um gráfico que possui 35 arestas, 4 vértices de grau 5, 5 vértices de grau 4 e 4 vértices de grau 3. Agora descobriremos o número de vértices com grau 2 neste gráfico.

Solução: Com a ajuda do gráfico acima, obtivemos os seguintes detalhes:

Número de arestas = 35

Número de vértices do grau 5 = 4

Número de vértices de grau 4 = 5

Número de vértices de grau 3 = 4

Agora vamos assumir o número de vértices de grau 2 = n

Com a ajuda do teorema do aperto de mão, temos o seguinte:

Soma do grau de todos os vértices = 2 * Número de arestas

Agora colocaremos os valores fornecidos na fórmula de handshake acima:

4*5 + 5*4 + 4*3 + n*2 = 2*35

20 + 20 + 12 + 2n = 70

52+2n = 70

2n = 70-52

2n = 18

n = 9

Assim, no gráfico G, número de vértices de grau 2 = 9.

Exemplo 4: Aqui, temos um gráfico que possui 24 arestas e o grau de cada vértice é k. Agora descobriremos o número possível de vértices das opções fornecidas.

1. quinze
2. vinte
3. 8
4. 10

Solução: Com a ajuda do gráfico acima, obtivemos os seguintes detalhes:

Número de arestas = 24

Grau de cada vértice = k

Agora vamos assumir o número de vértices = n

Com a ajuda do teorema do aperto de mão, temos o seguinte:

estrutura na estrutura de dados

Soma do grau de todos os vértices = 2 * Número de arestas

Agora colocaremos os valores fornecidos na fórmula de handshake acima:

N*k = 2*24

K = 48/aprox.

É obrigatório que um número inteiro esteja contido no grau de qualquer vértice.

Portanto, podemos usar apenas os tipos de valores de n na equação acima que nos fornecem um valor inteiro de k.

Agora, verificaremos as opções fornecidas acima, colocando-as no lugar de n, uma por uma, assim:

• Para n = 15, obteremos k = 3,2, que não é um número inteiro.
• Para n = 20, obteremos k = 2,4, que não é um número inteiro.
• Para n = 8, obteremos k = 6, que é um número inteiro e é permitido.
• Para n = 10, obteremos k = 4,8, que não é um número inteiro.

Assim, a opção correta é a opção C.