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No recentemente redesenhado SAT 2016, o conteúdo da seção de matemática é dividido em quatro categorias pelo College Board: Coração da Álgebra, Solução de Problemas e Análise de Dados, Passaporte para Matemática Avançada e Tópicos Adicionais em Matemática. Heart of Algebra é responsável pela maior parte da seção de matemática do SAT (33% do teste) , então você precisa estar bem preparado para isso. Neste post, discutirei o conteúdo e os tipos de perguntas desta categoria, trabalhando em problemas práticos e dando dicas sobre como acertar essas questões.

Coração da Álgebra: Visão Geral

Conteúdo coberto

Assim como o nome sugere, Heart of Algebra cobre conteúdo de álgebra, mas qual conteúdo de álgebra especificamente? Essas questões abrangem:

• Equações lineares
• Sistema de Equações
• Valor absoluto
• Representação gráfica de equações lineares
• Desigualdades Lineares e Sistemas de Desigualdades

Vou me aprofundar em cada uma dessas áreas de conteúdo abaixo. Explicarei exatamente o que você precisa saber em cada área e orientarei você em alguns problemas práticos.

OBSERVAÇÃO: Todos os problemas práticos neste artigo vêm de um verdadeiro teste prático College Board SAT (Teste prático nº 1).

Eu recomendo que você não leia este artigo antes de fazer o Teste Prático nº 1 (para não estragar tudo para você!). Se você ainda não fez o Teste Prático nº 1, marque este artigo como favorito e volte depois de concluí-lo. Se você já fez o Teste Prático nº 1, continue lendo!

Análise das questões do coração da álgebra

Como mencionei no início do artigo, Heart of Algebra representa 33% da seção de matemática, o que resulta em 19 perguntas. Haverá oito na seção 3 (o teste de matemática sem calculadora) e 11 na seção 4 (o teste de matemática com calculadora).

As questões do Heart of Algebra variam na apresentação. Como são tantos, o College Board precisou misturar a forma como eles fazem essas perguntas. Você vai ver questões de múltipla escolha e grade do Heart of Algebra. Você pode simplesmente ser apresentado a uma(s) equação(ões) e precisar resolver ou você pode receber um cenário do mundo real como um problema verbal e precisar criar uma(s) equação(ões) para encontrar a resposta.

A seção de matemática do SAT apresenta questões em ordem de dificuldade (definida por quanto tempo um aluno médio leva para resolver um problema e a porcentagem de alunos que respondem a questão corretamente). Você verá questões do Heart of Algebra ao longo da seção : os mais simples e 'fáceis' aparecerão no início da múltipla escolha e das grades, enquanto os mais desafiadores, que exigem que você crie uma equação ou equações para resolver, aparecerão no final.

Darei exemplos de cada tipo de pergunta (fácil e difícil) à medida que aprendermos sobre cada área de conteúdo na próxima seção.

Estamos no caminho da conquista da álgebra!

Detalhamentos da área de conteúdo

Equações lineares

As questões de equações lineares podem ser apresentadas de duas maneiras. As questões mais fáceis sobre equações lineares solicitarão que você resolva uma equação linear que lhe foi dada. As questões mais difíceis sobre equações lineares solicitarão que você escreva uma equação linear para representar a situação dada.

Sem problemas de prática de calculadora

Esta pergunta é uma das questões mais simples, fáceis e diretas do Heart of Algebra que você verá. A questão apenas pede que você resolva uma equação linear sem situá-la em uma situação do mundo real que exigiria que você entendesse o contexto e também a equação.

Explicação da resposta:

Como $k=3$, pode-se substituir k por 3 na equação, o que dá ${x-1}/{3}=3$. Multiplicar ambos os lados de ${x-1}/{3}=3$ por 3 dá $x-1=9$, e se você adicionar 1 a cada lado, o resultado será $x=10$. D é a resposta correta.

Dica:

Se você teve dificuldades com essa questão, também pode resolvê-la inserindo as opções de resposta para x e vendo qual delas funcionou. Conectar funcionará, mas levará mais tempo do que simplesmente resolver a equação.

Se você resolver a equação para encontrar x, poderá verificar sua resposta inserindo-a. Se você inserir sua opção de resposta para x e ambos os lados da equação forem iguais, você sabe que tem a resposta certa!

A seguinte pergunta é um pouco mais desafiador já que pede que você crie uma equação linear para representar o cenário do mundo real que apresenta.

Explicação da resposta:

Existem duas maneiras de abordar esse problema.

Abordagem 1: O número total de mensagens enviadas por Armand é igual à sua taxa de mensagens de texto (m mensagens de texto/hora) multiplicada pelas 5 horas que ele gastou enviando mensagens de texto: m mensagens de texto/hora × 5 horas = $5 milhões$ de mensagens de texto. Da mesma forma, o número total de mensagens enviadas por Tyrone é igual à sua taxa de mensagens de texto (p mensagens de texto/hora) multiplicada pelas 4 horas que ele gastou enviando mensagens de texto: p mensagens de texto/hora × 4 horas = $4p$ mensagens de texto. O número total de mensagens enviadas por Armand e Tyrone é igual à soma do número total de mensagens enviadas por Armand e o número total de mensagens enviadas por Tyrone: $5m+4p$. C é a resposta correta.

Abordagem 2: Escolha números e conecte-os. Por exemplo, vou escolher números e dizer que Armand envia 3 mensagens de texto por hora e Tyrone envia 10 mensagens de texto por hora. Com base nas informações fornecidas, se Armand envia mensagens de texto por 5 horas, Armand enviou (3 textos por hora) (5 horas) textos ou 15 textos; se Tyrone envia mensagens de texto por 4 horas, Tyrone envia (10 mensagens de texto por hora) (4 horas) mensagens de texto ou 40 mensagens de texto. Portanto, o número total de textos enviados por Armand e Tyrone é de $15+40=55$ textos. Agora, insiro os números que escolhi nas opções de resposta e vejo se o número de textos corresponde a 55 textos, então para a resposta C, $5(3) +4(10)=15+40=55$ textos. Portanto, C é a resposta correta. NOTA: para esta questão, esta estratégia foi mais lenta, mas para questões mais complicadas, esta pode ser uma abordagem mais rápida e fácil.

Dica:

Encare esses problemas um passo de cada vez. Descubra o número total de mensagens de texto de Armand, depois calcule o número total de mensagens de texto de Tyrone e, a seguir, combine-as em uma expressão. Não se apresse em pular para a resposta final. Você pode cometer um erro ao longo do caminho.

Sistemas de Equações

As questões do sistema de equações serão apresentadas de maneira semelhante às questões de equações lineares; no entanto, eles são mais difíceis porque agora você precisa executar mais etapas e/ou criar uma segunda equação.

O sistema mais fácil de questões de equação pedirá que você resolva uma variável quando tiver duas equações com duas variáveis.

O questões mais difíceis do sistema de equações exigirá que você escreva um sistema de equações para representar a situação dada e, em seguida, resolva uma variável usando as equações que você criou.

Sem problemas de prática de calculadora

Esta questão é sem dúvida a sistemas de equações mais simples, fáceis e diretos que você verá. Ele configura as equações para você e simplesmente pede que você resolva x.

Explicação da resposta:

Subtrair os lados esquerdo e direito de $x+y=−9$ dos lados correspondentes de $x+2y =−25$ dá $(x+2y)−(x+y)=−25−(−9)$ , o que equivale a $y=−16$. Substituir $−16$ por $y$ em $x+y=−9$ dá $x+(−16)=−9$, que é equivalente a $x=−9−(−16) =7$. A resposta correta é 7.

Dica:

Conectar pode ser uma boa opção se você tiver essa pergunta de múltipla escolha (o que não é o caso aqui). No entanto, você também poderia ter inserido sua resposta para verificar seu trabalho!

Aqui está outra questão bastante direta do sistema de equações, mas é um pouco mais difícil já que você precisa fornecer a resposta para x e y (o que cria mais potencial para erro).

Explicação da resposta:

Adicionar x e 19 a ambos os lados de $2y−x=−19$ dá $x=2y+19$. Então, substituindo $2y+19$ por x em $3x+4y=−23$ dá $3(2y + 19)+4y=−23$. Esta última equação é equivalente a $10y+57=−23$. Resolver $10y+57=−23$ dá $y=−8$. Finalmente, substituir −8 por y em $2y−x=−19$ dá $2(−8)−x=−19$, ou $x=3$. Portanto, a solução $(x, y)$ para o sistema de equações dado é $(3, −8)$.

Dica:

Conectar também teria sido uma maneira rápida de resolver esse problema! Quando solicitado a resolver ambas as variáveis ​​​​em uma questão de sistema de equações, sempre tente conectar!

O seguinte é um um pouco mais difícil. Mesmo que você receba as equações, você ainda precisa determinar o que a pergunta está perguntando (qual variável você precisa resolver), o que é um pouco mais desafiador, pois faz a pergunta usando um cenário do mundo real. Além disso, você precisa resolvê-lo usando matemática mental (já que está na seção sem calculadora).

Explicação da resposta:

Para determinar o preço por quilo de carne bovina quando ele era igual ao preço por quilo de frango, determine o valor de x (o número de semanas após 1º de julho) quando os dois preços eram iguais. Os preços eram iguais quando $b=c$; isto é, quando $2,35+0,25x=1,75+0,40x$. Esta última equação é equivalente a $0,60=0,15x$, e então $x={0,6}/{0,15}=4$. Então, para determinar $b$, o preço por quilo de carne bovina, substitua $x$ por 4 em $b=2,35+0,25x$, o que dá $b=2,35+0,25(4)=3,35$ dólares por quilo. Portanto, D é a resposta correta.

Dica:

Não tenha pressa trabalhando em cada etapa. É fácil cometer um pequeno erro e obter a resposta errada.

Problema prático de calculadora

A seguir está uma das questões mais difíceis do Coração da Álgebra. Com base no cenário do mundo real fornecido na pergunta, você precisa criar duas equações e depois resolvê-las.

Explicação da resposta:

Para determinar a quantidade de saladas vendidas, escreva e resolva um sistema de duas equações. Seja $x$ igual ao número de saladas vendidas e $y$ igual ao número de bebidas vendidas. Como o número de saladas mais o número de bebidas vendidas é igual a 209, a equação $x+y=209$ deve ser válida. Como cada salada custou 6,50, cada refrigerante custou 2,00 e a receita total foi 836,50, a equação $6,50x+2,00y=836,50$ também deve ser válida. A equação $x+y=209$ é equivalente a $2x+2y=418$, e subtrair cada lado de $2x+2y=418$ do respectivo lado de $6,50x+2,00y=836,50$ dá $4,5x=418,50 $. Portanto, o número de saladas vendidas x foi $x={418,50}/{4,50}=93$. Portanto, B é a resposta correta.

Dica:

Encare esses problemas um passo de cada vez. Escreva a equação para o número total de saladas e bebidas vendidas, depois calcule a equação para a receita e, em seguida, resolva. Não se apresse ou você pode cometer um erro.

Valor absoluto

Normalmente haverá apenas uma pergunta de valor absoluto na seção de matemática do SAT. A pergunta geralmente é muito fácil e direta, mas requer que você conheça as regras do valor absoluto para respondê-la corretamente. Qualquer coisa que seja um valor absoluto será colocada entre colchetes com sinais de valor absoluto parecidos com estes: || Por exemplo, $|-4|$ ou $|x-1|$

Um valor absoluto é uma representação da distância ao longo de uma reta numérica, para frente ou para trás.

Isso significa que tudo o que estiver no sinal de valor absoluto se tornará positivo pois representa a distância ao longo de uma reta numérica e é impossível ter uma distância negativa. Por exemplo, na reta numérica acima, -2 está a 2 pontos de 0. Qualquer coisa dentro do valor absoluto torna-se positiva.

Isso também significa que uma equação de valor absoluto sempre terá duas soluções . Por exemplo, $|x-1|=2$ terá duas soluções $x-1=2$ e $x-1=-2$. Então, você resolve cada equação separada para encontrar as duas soluções, $x=3,-1$.

Ao trabalhar em problemas de valor absoluto, lembre-se de que você precisa criar duas soluções separadas, a positiva e a negativa, como fizemos acima.

Problema prático de calculadora

Explicação da resposta:

Se o valor de $|n−1|+1$ for igual a 0, então $|n−1|+1=0$. Subtrair 1 de ambos os lados desta equação dá $|n−1|=−1$. A expressão $|n−1|$ no lado esquerdo da equação é o valor absoluto de $n−1$ e, como acabei de mencionar, o valor absoluto nunca pode ser um número negativo, pois representa a distância. Assim, $|n−1|=−1$ não tem solução. Portanto, não existem valores para n para os quais o valor de $|n−1|+1$ seja igual a 0. D é a resposta correta.

Dica:

Lembre-se das regras do valor absoluto (é sempre positivo!). Se você se lembra das regras, deverá acertar a pergunta!

Representação gráfica de equações lineares

Essas perguntas testam sua capacidade de ler um gráfico e interpretá-lo na forma $y=mx+b$. Para relembrar rapidamente, $y=mx+b$ é a equação de interceptação de inclinação de uma reta, onde m representa a inclinação e b representa a interceptação de y.

Nessas questões, normalmente será apresentado a você o gráfico de uma reta e você precisará determinar qual é a inclinação e a interceptação em y para escrever a equação da reta.

Problema prático de calculadora

Explicação da resposta:

A relação entre h e C é representada por qualquer equação da reta dada. A interceptação C da reta é 5. Como os pontos $(0, 5)$ e $(1, 8)$ estão na reta, a inclinação da reta é ${8-5}/{1-0 }={3}/{1}=3$. Portanto, a relação entre h e C pode ser representada por $C=3h+5$, a equação declive-interceptação da reta. C é a resposta correta.

Dica:

Tenha a forma de interceptação de inclinação ($y=mx+b$) e a equação de inclinação $m={y_2-y_1}/{x_2-x_1}$ memorizada. Saiba o que significa cada variável nas equações. Se você sabe tudo isso, deverá ser capaz de resolver qualquer problema de equação linear gráfica que receber.

Desigualdades Lineares e Sistemas de Desigualdades Lineares

Estes são sem dúvida as questões mais desafiadoras do Coração da Álgebra porque muitos estudantes têm dificuldades quando variáveis ​​são combinadas com desigualdades. Se você precisar de uma atualização rápida, mas aprofundada sobre as desigualdades, consulte nosso guia sobre desigualdades.

Estas questões normalmente aparecem no final da múltipla escolha e das grades em cada seção. Estas questões serão apresentadas como desigualdades simples e já estabelecidas (não lhe será pedido que crie desigualdades nem lhe será apresentado um cenário do mundo real utilizando desigualdades). Embora sejam apresentadas de forma direta, essas questões são desafiadoras e é fácil cometer erros, então não tenha pressa!

Problemas práticos de calculadora

Explicação da resposta:

Subtrair $3x$ e adicionar 3 a ambos os lados de $3x−5≥4x−3$ dá $−2≥x$. Portanto, x é uma solução para $3x−5≥4x−3$ se e somente se x for menor ou igual a −2 e x NÃO é uma solução para $3x−5≥4x−3$ se e somente se x é maior que -2. Das opções dadas, apenas −1 é maior que −2 e, portanto, não pode ser um valor de x. 'A' é a resposta correta

Você também pode tentar responder inserindo as opções de resposta e vendo qual delas não funcionou. Se você inserir A na desigualdade, obterá $3(-1)-5≥4(-1)−3$. Simplificando a desigualdade, você obteria -8≥-7, o que não é verdade, então A é a resposta correta.

Dica

Lembre-se das regras das desigualdades! Não se apresse em cada etapa para não cometer erros. Além disso, lembre-se de tentar inserir as opções de resposta para encontrar a resposta correta!

Vamos dar uma olhada em outro exemplo.

Explicação da resposta:

Como (0, 0) é uma solução para o sistema de desigualdades, substituir 0 por x e 0 por y no sistema dado deve resultar em duas desigualdades verdadeiras. Após esta substituição, y<−x + a becomes 0 x + b becomes 0>b. Portanto, a é positivo e b é negativo. Portanto, a > b. A alternativa A está correta.

Dica:

Trate este sistema de desigualdades com quatro variáveis ​​da mesma forma que trataria um sistema de desigualdades com duas variáveis. Lembre-se que se (0,0) for uma solução isso significa que quando x=0, y=0.

4 estratégias principais para o Heart of Algebra

Intercalei as estratégias para atacar essas questões ao longo deste artigo nas seções de 'dicas', mas vou resumi-las aqui agora.

Estratégia nº 1: Memorize as regras e a fórmula

Você precisa conhecer as regras das desigualdades, as regras do valor absoluto e a fórmula para a versão intercept-inclinação de uma reta ($y=mx+b$) para responder corretamente a esses tipos de questões de álgebra. Sem as regras e a fórmula, essas questões são praticamente impossíveis.

Se precisar de mais ajuda com qualquer um dos conceitos, verifique nossos guias detalhados para equações lineares, sistemas de equações, valor absoluto, forma de interceptação-inclinação e desigualdades lineares e sistemas de desigualdades.

Estratégia nº 2: inserir respostas

Nas questões de múltipla escolha, você deverá sempre verifique se você pode inserir as opções de resposta nas equações ou desigualdades fornecidas para encontrar a resposta correta . Às vezes, essa abordagem será muito mais simples do que tentar resolver a equação.

Mesmo que você descubra que inserir respostas está atrasando você, você deve, pelo menos, considerar usá-lo para verificar seu trabalho. Insira a opção de resposta que encontrar e veja se ela resulta em uma equação balanceada ou em desigualdades corretas. Se isso acontecer, você sabe que tem a resposta correta!

Conecte! Conecte!

Estratégia nº 3: inserir números

Se inserir respostas não for uma possibilidade, inserir números geralmente é uma possibilidade, como na pergunta 2 acima. Quando você escolhe números para inserir, em geral, não recomendo usar -1, 0 ou 1 (pois podem resultar em respostas erradas) e leia a pergunta para ver quais números você deve escolher. Por exemplo, na questão 2, os números representavam a quantidade de mensagens de texto enviadas, portanto você não deve usar um número negativo para representar a quantidade de mensagens de texto, pois é impossível enviar um número negativo de mensagens de texto.

Para as desigualdades isto é especialmente importante, muitas vezes a questão dirá 'o seguinte é verdadeiro para todos os $x>0$.' Se for esse o caso, você não pode inserir 0 ou -5; você só pode inserir números maiores que 0, pois esse é o parâmetro definido pela pergunta.

Estratégia nº 4: Trabalhe um passo de cada vez

Para questões do Heart of Algebra, você precisa dedicar algum tempo trabalhando em cada etapa. Essas perguntas podem envolver 5, 10, 15 etapas, e você precisa dedicar algum tempo para não cometer um pequeno erro na etapa 3 que resultará em uma resposta incorreta. Você conhece o que faz, então não deixe que pequenos erros lhe custem pontos!

Qual é o próximo?

Agora que você sabe o que esperar das questões do Heart of Algebra, certifique-se de estar preparado para todos os outros tópicos de matemática você verá no SAT. Todos os nossos guias de matemática irão guiá-lo através de estratégias e problemas práticos para todos os tópicos abordados na seção de matemática, de números inteiros a proporções, de círculos a polígonos (e muito mais!).

Está ansioso com o dia do teste? Certifique-se de saber exatamente o que fazer e o que fazer para acalmar sua mente e acalmar seus nervos antes da hora de fazer o SAT.

Está ficando sem tempo na seção de matemática do SAT? Basta procurar nosso guia para ajudá-lo a vencer o relógio e maximizar sua pontuação em matemática no SAT.

Procurando obter uma pontuação perfeita? Confira nosso guia para obter um 800 perfeito , escrito por um artilheiro perfeito.