Na simplificação da expressão booleana, as leis e regras da álgebra booleana desempenham um papel importante. Antes de compreender essas leis e regras da álgebra booleana, entenda o conceito de adição e multiplicação de operações booleanas.

Adição Booleana

A operação de adição da álgebra booleana é semelhante à operação OR. Em circuitos digitais, a operação OR é usada para calcular o termo soma, sem usar a operação AND. A + B, A + B', A + B + C' e A' + B + + D' são alguns dos exemplos de 'termo de soma'. O valor do termo de soma é verdadeiro quando um ou mais literais são verdadeiros e falso quando todos os literais são falsos.

Multiplicação booleana

A operação de multiplicação da álgebra booleana é semelhante à operação AND. Em circuitos digitais, a operação AND calcula o produto, sem utilizar a operação OR. AB, AB, ABC e ABCD são alguns dos exemplos do termo de produto. O valor do termo do produto é verdadeiro quando todos os literais são verdadeiros e falso quando qualquer um dos literais é falso.

Leis da álgebra booleana

Existem as seguintes leis da álgebra booleana:

Lei comutativa

Esta lei afirma que não importa a ordem em que usamos as variáveis. Isso significa que a ordem das variáveis ​​não importa. Na álgebra booleana, as operações OR e de adição são semelhantes. No diagrama abaixo, a porta OR mostra que a ordem das variáveis ​​de entrada não importa em nada.

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Para duas variáveis, a lei comutativa da adição é escrita como:

Para duas variáveis, a lei comutativa da multiplicação é escrita como:

boi vs touro

Direito Associativo

Esta lei estabelece que a operação pode ser realizada em qualquer ordem quando a prioridade das variáveis ​​for a mesma. Como '*' e '/' têm a mesma prioridade. No diagrama abaixo, a lei associativa é aplicada à porta OR de 2 entradas.

Para três variáveis, a lei associativa da adição é escrita como:

Para três variáveis, a lei associativa da multiplicação é escrita como:

De acordo com esta lei, não importa em que ordem as variáveis ​​​​são agrupadas ao aplicar AND em mais de duas variáveis. No diagrama abaixo, a lei associativa é aplicada à porta AND de 2 entradas.

Direito Distributivo:

De acordo com esta lei, se realizarmos a operação OR de duas ou mais variáveis ​​e depois realizarmos a operação AND do resultado com uma única variável, então o resultado será semelhante a realizar a operação AND dessa única variável com cada duas ou mais variável e, em seguida, execute a operação OR desse produto. Esta lei explica o processo de factoring.

Para três variáveis, a lei distributiva é escrita como:

Regras da álgebra booleana

Existem as seguintes regras de álgebra booleana, que são usadas principalmente na manipulação e simplificação de expressões booleanas. Estas regras desempenham um papel importante na simplificação de expressões booleanas.

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Regra 1: A + 0 = A

Vamos supor; temos uma variável de entrada A cujo valor é 0 ou 1. Quando realizamos a operação OR com 0, o resultado será o mesmo da variável de entrada. Portanto, se o valor da variável for 1, o resultado será 1, e se o valor da variável for 0, o resultado será 0. Diagramaticamente, esta regra pode ser definida como:

Regra 2: (A + 1) = 1

Vamos supor; temos uma variável de entrada A cujo valor é 0 ou 1. Quando realizamos a operação OR com 1, o resultado será sempre 1. Portanto, se o valor da variável for 1 ou 0, então o resultado será sempre 1. Diagramaticamente , esta regra pode ser definida como:

Regra 3: (A.0) = 0

Vamos supor; temos uma variável de entrada A cujo valor é 0 ou 1. Quando realizamos a operação AND com 0, o resultado será sempre 0. Esta regra afirma que uma variável de entrada com AND com 0 é sempre igual a 0. Diagramaticamente, esta regra pode ser definida como:

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Regra 4: (A.1) = A

Vamos supor; temos uma variável de entrada A cujo valor é 0 ou 1. Quando realizamos a operação AND com 1, o resultado será sempre igual à variável de entrada. Esta regra afirma que uma variável de entrada com AND com 1 é sempre igual à variável de entrada. Diagramaticamente, esta regra pode ser definida como:

Regra 5: (A + A) = A

Vamos supor; temos uma variável de entrada A cujo valor é 0 ou 1. Quando realizamos a operação OR com a mesma variável, o resultado será sempre igual à variável de entrada. Esta regra afirma que uma variável de entrada com OR em si mesma é sempre igual à variável de entrada. Diagramaticamente, esta regra pode ser definida como:

Regra 6: (A + A') = 1

Vamos supor; temos uma variável de entrada A cujo valor é 0 ou 1. Quando realizamos a operação OR com o complemento dessa variável, o resultado será sempre igual a 1. Esta regra afirma que uma variável ORed com seu complemento é igual a 1 sempre. Diagramaticamente, esta regra pode ser definida como:

Regra 7: (AA) = A

Vamos supor; temos uma variável de entrada A cujo valor é 0 ou 1. Quando realizamos a operação AND com a mesma variável, o resultado será sempre igual apenas a essa variável. Esta regra afirma que uma variável com AND consigo mesma é sempre igual à variável de entrada. Diagramaticamente, esta regra pode ser definida como:

Regra 8: (AA') = 0

Vamos supor; temos uma variável de entrada A cujo valor é 0 ou 1. Quando realizamos a operação AND com o complemento dessa variável, o resultado será sempre igual a 0. Esta regra afirma que uma variável com AND com seu complemento é igual a 0 sempre. Diagramaticamente, esta regra pode ser definida como:

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Regra 9: A = (A')'

Esta regra afirma que se realizarmos o complemento duplo da variável, o resultado será igual ao da variável original. Então, quando realizamos o complemento da variável A, então o resultado será A'. Além disso, se realizarmos novamente o complemento de A', obteremos A, que é a variável original.

Regra 10: (A + AB) = A

Podemos provar esta regra usando a regra 2, a regra 4 e a lei distributiva como:

Regra 11: A + AB = A + B

Podemos provar esta regra usando as regras acima como:

Regra 12: (A + B)(A + C) = A + BC

Podemos provar esta regra usando as regras acima como: