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Antes de discutir o Critério de Routh-Hurwitz, primeiramente estudaremos o sistema estável, instável e marginalmente estável.

Sistema estável: Se todas as raízes da equação característica estiverem no esquerda metade do plano 'S', então o sistema é considerado estável.Sistema marginalmente estável: Se todas as raízes do sistema estiverem no eixo imaginário do plano 'S', então o sistema é considerado marginalmente estável.Sistema instável: Se todas as raízes do sistema estiverem no certo metade do plano 'S', então o sistema é considerado um sistema instável.

Declaração do critério Routh-Hurwitz

O critério de Routh Hurwitz afirma que qualquer sistema pode ser estável se e somente se todas as raízes da primeira coluna tiverem o mesmo sinal e se não tiver o mesmo sinal ou houver uma mudança de sinal então o número de mudanças de sinal na primeira coluna é igual ao número de raízes da equação característica na metade direita do plano s, ou seja, é igual ao número de raízes com partes reais positivas.

Condições necessárias mas não suficientes para estabilidade

Temos que seguir algumas condições para tornar qualquer sistema estável, ou podemos dizer que existem algumas condições necessárias para tornar o sistema estável.

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Considere um sistema com equação característica:

1. Todos os coeficientes da equação devem ter o mesmo sinal.
2. Não deve haver nenhum termo faltante.

Se todos os coeficientes tiverem o mesmo sinal e não houver termos faltantes, não temos garantia de que o sistema será estável. Para isso, usamos Critério de Routh Hurwitz para verificar a estabilidade do sistema. Se as condições acima não forem satisfeitas, o sistema é considerado instável. Este critério é dado por A. Hurwitz e E.J. Routh.

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Vantagens do critério de Routh-Hurwitz

1. Podemos encontrar a estabilidade do sistema sem resolver a equação.
2. Podemos determinar facilmente a estabilidade relativa do sistema.
3. Por este método, podemos determinar a faixa de K para estabilidade.
4. Por este método, também podemos determinar o ponto de intersecção do lugar das raízes com um eixo imaginário.

Limitações do critério de Routh-Hurwitz

1. Este critério é aplicável apenas para um sistema linear.
2. Não fornece a localização exata dos pólos nas metades direita e esquerda do plano S.
3. No caso da equação característica, ela é válida apenas para coeficientes reais.

O critério de Routh-Hurwitz

Considere o seguinte polinômio característico

Quando os coeficientes a0, a1, ....................an são todos do mesmo sinal e nenhum é zero.

Passo 1 : Organize todos os coeficientes da equação acima em duas linhas:

Passo 2 : A partir dessas duas linhas formaremos a terceira linha:

etapa 3 : Agora, formaremos a quarta linha usando a segunda e a terceira linhas:

Passo 4 : Continuaremos este procedimento de formação de novas linhas:

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Exemplo

Verifique a estabilidade do sistema cuja equação característica é dada por

s<sup>4</sup> + 2s<sup>3</sup>+6s<sup>2</sup>+4s+1 = 0 

Solução

Obtenha a seta dos coeficientes da seguinte forma

Como todos os coeficientes da primeira coluna têm o mesmo sinal, ou seja, positivos, a equação dada não possui raízes com partes reais positivas; portanto, o sistema é considerado estável.