Suponha que existam duas declarações compostas, X e Y, que serão conhecidas como equivalência lógica se e somente se a tabela verdade de ambas contiver os mesmos valores verdade em suas colunas. Com a ajuda do símbolo = ou ⇔, podemos representar a equivalência lógica. Então X = Y ou X ⇔ Y será a equivalência lógica dessas afirmações.
Com a ajuda da definição de equivalência lógica, esclarecemos que se as proposições compostas X e Y são equivalências lógicas, neste caso, X ⇔ Y deve ser Tautologia.
Leis da Equivalência Lógica
Nesta lei, usaremos os símbolos 'AND' e 'OR' para explicar a lei da equivalência lógica. Aqui, AND é indicado com a ajuda do símbolo ∧ e OR é indicado com a ajuda do símbolo ∨. Existem várias leis de equivalência lógica, que são descritas a seguir:
Lei Idempotente:
Na lei idempotente, usamos apenas uma única afirmação. De acordo com esta lei, se combinarmos duas afirmações iguais com os símbolos ∧(e) e ∨(ou), então a afirmação resultante será a própria afirmação. Suponha que exista uma afirmação composta P. A seguinte notação é usada para indicar a lei idempotente:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
A tabela verdade para esta lei é descrita a seguir:
| P | P | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de P, P ∨ P e P ∧ P.
Portanto podemos dizer que P ∨ P = P e P ∧ P = P.
Leis Comutativas:
As duas declarações são usadas para mostrar a lei comutativa. De acordo com esta lei, se combinarmos duas afirmações com o símbolo ∧(e) ou ∨(ou), então a afirmação resultante será a mesma mesmo se mudarmos a posição das afirmações. Suponha que haja duas afirmações, P e Q. A proposição dessas afirmações será falsa quando ambas as afirmações P e Q forem falsas. Em todos os outros casos, será verdade. A seguinte notação é usada para indicar a lei comutativa:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
A tabela verdade para essas notações é descrita a seguir:
| P | P | P∨Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de P ∨ Q e Q ∨ P.
Portanto podemos dizer que P ∨ Q ? Q ∨ P.
Da mesma forma que podemos provar P ∧ Q ? Q ∧ P.
Direito Associativo:
As três afirmações são usadas para mostrar a lei associativa. De acordo com esta lei, se combinarmos três afirmações com a ajuda de colchetes pelo símbolo ∧(e) ou ∨(ou), então a afirmação resultante será a mesma mesmo se mudarmos a ordem dos colchetes. Isso significa que esta lei é independente de agrupamento ou associação. Suponha que existam três afirmações P, Q e R. A proposição dessas afirmações será falsa quando P, Q e R forem falsas. Em todos os outros casos, será verdade. A seguinte notação é usada para indicar a lei associativa:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
A tabela verdade para essas notações é descrita a seguir:
| P | P | R | P∨Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de P ∨ (Q ∨ R) e (P ∨ Q) ∨ R.
Portanto podemos dizer que P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
invertendo string java
O mesmo que podemos provar P ∧ (Q ∧ R)? (P ∧ Q) ∧ R
Direito Distributivo:
As três afirmações são usadas para mostrar a lei distributiva. De acordo com esta lei, se combinarmos uma afirmação pelo símbolo ∨(OR) com as outras duas declarações que estão unidas ao símbolo ∧(AND), então a afirmação resultante será a mesma, mesmo se combinarmos separadamente as declarações com o símbolo ∨(OR) e combinando as instruções unidas com ∧(AND). Suponha que existam três afirmações P, Q e R. A seguinte notação é usada para indicar a lei distributiva:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
A tabela verdade para essas notações é descrita a seguir:
| P | P | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P∨Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de P ∨ (Q ∧ R) e (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Portanto, podemos dizer que P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
O mesmo que podemos provar P ∧ (Q ∨ R)? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Lei de Identidade:
Uma única declaração é usada para mostrar a lei de identidade. De acordo com esta lei, se combinarmos uma afirmação e um valor Verdadeiro com o símbolo ∨(ou), então gerará o valor Verdadeiro. Se combinarmos uma instrução e um valor False com o símbolo ∧(e), então a própria instrução será gerada. Da mesma forma, faremos isso com os símbolos opostos. Isso significa que se combinarmos uma afirmação e um valor Verdadeiro com o símbolo ∧(e), então ela gerará a própria afirmação, e se combinarmos uma afirmação e um valor Falso com o símbolo ∨(ou), então irá gerar o Valor falso. Suponha que haja uma afirmação composta P, um valor verdadeiro T e um valor falso F. A seguinte notação é usada para indicar a lei de identidade:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
A tabela verdade para essas notações é descrita a seguir:
| P | T | F | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de P ∨ T e T. Portanto, podemos dizer que P ∨ T = T. Da mesma forma, esta tabela também contém os mesmos valores verdade nas colunas de P ∨ F e P. Portanto podemos dizer que P ∨ F = P.
Da mesma forma que podemos provar P ∧ T ? P e P ∧ F ? F
Lei Complementar:
Uma declaração única é usada na lei do complemento. De acordo com esta lei, se combinarmos uma afirmação com sua afirmação complementar com o símbolo ∨(ou), então ela gerará o valor Verdadeiro, e se combinarmos essas afirmações com o símbolo ∧(e), então gerará o valor Falso valor. Se negarmos um valor verdadeiro, gerará um valor falso, e se negarmos um valor falso, gerará o valor verdadeiro.
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A seguinte notação é usada para indicar a lei do complemento:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
A tabela verdade para essas notações é descrita a seguir:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de P ∨ ¬P e T. Portanto, podemos dizer que P ∨ ¬P = T. Da mesma forma, esta tabela também contém os mesmos valores verdade nas colunas de P ∧ ¬P e F. Portanto podemos dizer que P ∧ ¬P = F.
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de ¬T e F. Portanto, podemos dizer que ¬T = F. Da mesma forma, esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de ¬F e T. Portanto, podemos dizer que ¬F = T.
Lei da Dupla Negação ou Lei da Involução
Uma única afirmação é usada para mostrar a lei da dupla negação. De acordo com esta lei, se fizermos a negação de uma afirmação negada, então a afirmação resultante será a própria afirmação. Suponha que haja uma afirmação P e uma afirmação negativa ¬P. A seguinte notação é usada para indicar a lei da dupla negação:
¬(¬P) ? P
A tabela verdade para essas notações é descrita a seguir:
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de ¬(¬P) e P. Portanto, podemos dizer que ¬(¬P) = P.
Da Lei de Morgan:
As duas declarações são usadas para mostrar a lei de De Morgan. De acordo com esta lei, se combinarmos duas afirmações com o símbolo ∧(AND) e depois fizermos a negação dessas afirmações combinadas, então a afirmação resultante será a mesma mesmo se combinarmos a negação de ambas as afirmações separadamente com o símbolo ∨( OU). Suponha que existam duas declarações compostas, P e Q. A seguinte notação é usada para indicar a Lei de De Morgan:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
A tabela verdade para essas notações é descrita a seguir:
| P | P | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | ¬(P∧Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de ¬(P ∧ Q) e ¬ P ∨ ¬Q. Portanto podemos dizer que ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
O mesmo que podemos provar ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
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Lei de Absorção:
As duas afirmações são usadas para mostrar a lei de absorção. De acordo com esta lei, se combinarmos uma afirmação P pelo símbolo ∨(OR) com a mesma afirmação P e uma outra afirmação Q, que são unidas ao símbolo ∧(AND), então a afirmação resultante será a primeira afirmação P. O mesmo resultado será gerado se trocarmos os símbolos. Suponha que existam duas declarações compostas, P e Q. A seguinte notação é usada para indicar a Lei de Absorção:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
A tabela verdade para essas notações é descrita a seguir:
| P | P | P ∧ Q | P∨Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de P ∨ (P ∧ Q) e P. Portanto, podemos dizer que P ∨ (P ∧ Q) ? P.
Da mesma forma, esta tabela também contém os mesmos valores verdade nas colunas de P ∧ (P ∨ Q) e P. Portanto, podemos dizer que P ∧ (P ∨ Q) ? P.
Exemplos de equivalência lógica
Existem vários exemplos de equivalência lógica. Alguns deles são descritos a seguir:
Exemplo 1: Neste exemplo, estabeleceremos a propriedade de equivalência para uma instrução, que é descrita a seguir:
p → q ? ¬p ∨ q
Solução:
Provaremos isso com a ajuda de uma tabela verdade, que é descrita a seguir:
| P | P | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de p → q e ¬p ∨ q. Portanto podemos dizer que p → q ? ¬p ∨ q.
Exemplo 2: Neste exemplo, estabeleceremos a propriedade de equivalência para uma instrução, que é descrita a seguir:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Solução:
| P | P | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Esta tabela contém os mesmos valores verdade nas colunas de P ↔ Q e (P → Q) ∧ (Q → P). Portanto podemos dizer que P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Exemplo 3: Neste exemplo, usaremos a propriedade equivalente para provar a seguinte afirmação:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Solução:
Para provar isso, usaremos algumas das leis acima descritas e desta lei temos:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Agora usaremos a lei comutativa na equação acima e obteremos o seguinte:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Agora usaremos a lei distributiva nesta equação e obteremos o seguinte:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Agora usaremos a lei distributiva nesta equação e obteremos o seguinte:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Agora usaremos a lei do complemento nesta equação e obteremos o seguinte:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Agora usaremos a lei da identidade e obteremos o seguinte:
não
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Agora usaremos a lei comutativa nesta equação e obteremos o seguinte:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Finalmente, a equação (1) torna-se a seguinte:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Finalmente, podemos dizer que a equação (1) torna-se p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)