A Lógica de Predicados trata de predicados, que são proposições, constituídos por variáveis.

Lógica de Predicados - Definição

Um predicado é uma expressão de uma ou mais variáveis ​​determinadas em algum domínio específico. Um predicado com variáveis ​​pode ser transformado em uma proposição autorizando um valor para a variável ou quantificando a variável.

• Considere E (x, y) denotando 'x = y'
• Considere X (a, b, c) denotando 'a + b + c = 0'
• Considere M(x, y) denotando 'x é casado com y.'

Quantificador:

A variável de predicados é quantificada por quantificadores. Existem dois tipos de quantificador na lógica de predicados - Quantificador Existencial e Quantificador Universal.

Quantificador Existencial:

Se p(x) é uma proposição sobre o universo U. Então é denotado como ∃x p(x) e lido como 'Existe pelo menos um valor no universo da variável x tal que p(x) é verdadeiro. O quantificador ∃ é chamado de quantificador existencial.

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Existem várias maneiras de escrever uma proposição, com um quantificador existencial, ou seja,

(∃x∈A)p(x) ou ∃x∈A tal que p (x) ou (∃x)p(x) ou p(x) é verdadeiro para algum x ∈A.

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Quantificador Universal:

Se p(x) é uma proposição sobre o universo U. Então ela é denotada como ∀x,p(x) e lida como 'Para todo x∈U,p(x) é verdadeiro.' O quantificador ∀ é chamado de Quantificador Universal.

Existem diversas maneiras de escrever uma proposição, com um quantificador universal.

∀x∈A,p(x) ou p(x), ∀x ∈A Ou ∀x,p(x) ou p(x) é verdadeiro para todo x ∈A.

Negação de Proposições Quantificadas:

Quando negamos uma proposição quantificada, isto é, quando uma proposição quantificada universalmente é negada, obtemos uma proposição quantificada existencialmente, e quando uma proposição quantificada existencialmente é negada, obtemos uma proposição quantificada universalmente.

As duas regras para negação de proposições quantificadas são as seguintes. Estas também são chamadas de Lei de DeMorgan.

Exemplo: negue cada uma das seguintes proposições:

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1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

Sol: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

Sol: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

Sol: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

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Proposições com múltiplos quantificadores:

A proposição com mais de uma variável pode ser quantificada com múltiplos quantificadores. Os múltiplos quantificadores universais podem ser organizados em qualquer ordem sem alterar o significado da proposição resultante. Além disso, os múltiplos quantificadores existenciais podem ser organizados em qualquer ordem sem alterar o significado da proposição.

A proposição que contém quantificadores universais e existenciais, a ordem desses quantificadores não pode ser trocada sem alterar o significado da proposição, por exemplo, a proposição ∃x ∀ y p(x,y) significa 'Existe algum x tal que p (x, y) é verdadeiro para todo y.'

Exemplo: Escreva a negação para cada um dos seguintes. Determine se a afirmação resultante é verdadeira ou falsa. Suponha que você = R.

1.∀ x ∃ m(x²

Sol: Negação de ∀ x ∃ m(x²2≧m). O significado de ∃ x ∀ m (x²≧m) é que existe para algum x tal que x²≧m, para cada m. A afirmação é verdadeira porque existe algum x maior tal que x²≧m, para cada m.

2. ∃ m∀ x(x²

Sol: Negação de ∃ m ∀ x (x²2≧m). O significado de ∀ m∃x (x²≧m) é que para cada m, existe algum x tal que x²≧m. A afirmação é verdadeira, pois para cada m, existe algum x maior tal que x²≧m.